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Punkte willkürlich angenommen werden. Durch einen Punkt a der Ebene geht daher ein 

 Büschel solcher C 4 , die sich ausser in den Punkten 1 — 8 noch in 



16 — 6 — 2.4 — 1 = 1 

 ferneren Punkte « schneiden. 



Die Beziehung zwischen den Punkten a, a ist eine eindeutige und in volu to- 

 rische, wie man ohne weiters ersieht. 



Jeder Büschel von Curven C 4 , welcher die Punkte a, a bestimmt, enthält eine zerfal- 

 lende C 4 nämlich diejenige, welche aus der Curve dritter Ordnung C 3 besteht, die durch 

 1—8 und a geht und aus der Geraden 78. Es liegt also ein Punktepaar a, « stets auf einer 

 und derselben Curve C 3 durch 1—8. Alle diese Curven C 3 gehen noch durch einen festen 

 Punkt, der 9 heissen soll, hindurch. 



Jede C 3 durch 1—8 trifft eine beliebige C* in einem Punktepaare a, a; denn sie 

 bildet mit 78 zusammen eine Q 4 , welche mit C 4 den Büschel, also auch das Punktepaar a, a, 

 bestimmt. Es enthalten also sowol die C* als die C 3 jede unendlich viele Punktepaare der 

 Verwandtschaft und entsprechen sich selbst in derselben. 



Eine feste C y 3 wird von allen C 4 nur je in 2 Punkten geschnitten, deren Verbindungs- 

 linie nach dem Restsatze durch einen festen Punkt y von C 3 geht. Die Curven C* bilden 

 zwar eine <x" Manigfaltigkeit, aber durch jedes Punktepaar a, « gehen oo 1 Curven, so dass 

 nur cc 1 Punktepaare auf C 3 ausgeschnitten werden. 



Es fragt sich, was ist der Ort des Punktes y. Haben wir diesen gefunden, so können 

 wir die Verwandtschaft noch auf eine andere Art definiren, wie sich gleich zeigen wird. Der 

 Punkt y liegt nun auf einer Curve r der dritten Ordnung, welche durch 1 — 6 hindurchgeht 

 und in 9 einen Doppelpunkt besitzt. Denn sei C^ eine feste Curve dritter Ordnung durch 

 1 — 9, und aa ein Punktepaar auf derselben, so dass au in y noch schneidet, dann bildet eine 

 beliebige C mit 78 zusammen eine C 4 , welche auch ein Punktepaar ausschneidet, dessen Ver- 

 bindungslinie durch y geht. Dieses letztere Punktepaar besteht aber aus dem Punkte 9 und 

 dem Punkte 9', in welchem Q 3 die Gerade 78 noch schneidet; also bestimmt 99' auf Ci 3 

 den Punkt y. Durchläuft nun C x 3 den Büschel (C 3 ) durch (1 — 9), so wird 9' die Gerade 78 

 beschreiben und der Stralenbüschel, der aus 9 die Punkte 9' projicirt, ist zum Curvenbüschel 

 projektivisch. Ihr Erzeugnis ist eine Curve 4 ter Ordnung, welche in 9 einen Doppelpunkt hat 

 und durch die Punkte 1 — 8 hindurchgeht. Diese Curve zerfällt aber wie man sieht in die 

 Gerade 78 und eine Curve dritter Ordnung T, welche in 9 einen Doppelpunkt bat und 

 durch 1 — 6 einfach hindurchgeht. Hiedur ch ist .Tauch vollständig bestimmt. 



Jede C 3 durch 1 — 9 trifft nun r ausserhalb der Punkte 1 — 9 nur noch in einem 

 Punkte y und die Stralen durch y bestimmen die Punktepaare unserer Verwandtschaft auf C 3 . 

 Um also zu einem Punkte a der Ebene den entsprechenden « zu bestimmen, lege man 

 durch « die C a 3 , welche durch 1—9 geht, dieselbe trifft r in einem Punkte 

 y, dann schneidet ay die C a 3 in dem zu bestimmenden Punkte a. 



2. Die Punkte 1 — 9 sind Fundamentalpunkte unserer Verwandtschaft, ihnen ent- 

 sprechen Curven. Was zunächst die Punkte 1 — 6 anbelangt, so entsprechen denselben Curven 

 vierter Ordnung, welche in dem betrachteten Punkte und in 7, 8 Doppelpunkte haben. Denn 



