31 



früher betrachteten Fundarnentalcurven z/ in dem betreffenden Fundamentalpunkte, da auf 

 jedem der Zweige sich ein Punkt befindet, der mit seinem entsprechenden zusammenfällt. 

 Da aber 78 durch den entsprechenden Punkt 9 nicht geht, so kann ff 8 auch durch 9 nicht 

 hindurchgehen. Hieraus ersieht man dann auch, dass ff 8 durch 1, 2.. 6 je doppelt durch 

 7 und 8 vierfach hindurchgeht. 



5. Die Comcidenzcurve ff 8 bildet mit der Geraden 78 zusammen die Hesse-sche Curve 

 unseres Netzes von Curven 4 ter Ordnung C 4 , von welchem aus wir unsere Verwandtschaft be- 

 stimmten. Ist a ein Punkt von -ff 8 , so werden die Curven C* des Büschels, welcher durch a 

 bestimmt ist, sich daselbst berühren, also auch die C a 3 , welche durch a geht, d. h. die Tan- 

 gente aller C a 4 ist auch Tangente von C'J und geht auf dieser durch den Punkt y, in welchem 

 C a 3 die r trifft. Auf jeder C 3 liegen also blos 4 Punkte von ff 8 nämlich die Berührungs- 

 punkte der von y an die C 3 gehenden Tangenten. In der That schneidet C 3 die ff 8 ausser- 

 halb der Fundamentalpunkte nur noch in 



3.8 — 2.4 — 6.2 = 4 

 Punkten. 



6. Auf jeder Geraden g der Ebene liegen, wie wir sahen, 3 Paare a l a l , a. 2 a 2 , a 3 a 3 , 

 die den drei Schnittpunkten y,, y 2 , y 3 von g mit D so entsprechen, dass jedes Paar a t a { von der 

 C 3 ausgeschnitten wird, welche durch den Punkt y t geht. Lässt man den Stral g um einen 

 festen Punkt k der Ebene sich drehen, so durchlaufen die 3 Paare eine Curve k" der 7 teu Ord- 

 nung, indem k selbst auf ihr einfach liegt, da die C k 3 , welche durch k geht, die r in einem 

 Punkte y schneidet und ky bestimmt auf C k 3 den Punkt x, welcher Je zugehört und mit ihm 

 also auf k 1 liegt. 



Diese Curven k" haben vielfache Punkte im Allgemeinen nur in den Fundamental- 

 punkten und sind auch solche, die sich in der Verwandtschaft selbst entsprechen. Die Punkte 

 1 — 6 sind Doppelpunkte von 7c 7 , denn die Gerade ki (i — 1 . 2 . . . 6) schneidet die A* noch 

 in zwei Punkten, deren gepaarte je in i liegen. Die 5 übrigen Schnittpunkte von &' mit .ki 

 sind der Punkt k die zwei Punkte auf A? und das Paar, welches die C 3 ausschneidet, die 

 in i die r berührt. 



Die Punkte 7 und 8 sind 3-fache Punkte von k\ denn kl od. k8 trifft A-, 7 res. A % ' 

 in drei Punkten, deren entsprechende in 7 res. 8 liegen. Der Punkt 9 ist einfacher Punkt 

 von k\ da A9 die Gerade 78 nur in einem Punkte trifft. 



Jede C 3 trifft daher eine k' ausserhalb der Fundamentalpunkte nur mehr in 



3.7 — 2.3 — 6.2 — 1 = 2 

 Punkten, die auf dem Stral liegen, der Je mit dem Schnittpunkt von -T mit C 3 verbindet. 



Besässe nun & 7 noch in a einen Doppelpunkt, so müsste sie, da sie sich in der Ver- 

 wandtschaft selbst entspricht, auch in a einen Doppelpunkt haben, dann würde aber die C a 3 , 

 welche durch a geht, auch durch a gehen, und mit k' um 2 Schnittpunkte mehr gemein haben 

 als die Anzahl Schnittpunkte beider Curven betragen kann, es müsste dann &' in die C a 3 und 

 eine C* vierter Ordnung zerfallen. Wir werden sehen, dass dieses auch wirklich eintritt. Der 

 Schluss wird illusorisch, sobald a auf ff 8 liegt, weil dann « mit a zusammenfällt. Dann kann 

 k 7 ohne zu zerfallen einen Doppelpunkt besitzen. 



