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der Enveloppe E der 7 ten Klasse liegen, deren Tangenten die Punkte von g mit den entspre- 

 chenden von Cr 14 verbindet, ist von der Ordnung 7.7 — 14 — 1 = 34, indem die ff 14 und g 

 zu dem Gesammtort 49 ten Ordnung gehören. Diess ergibt sich auch so : Der Geraden g und g' 

 entsprechen zwei Enveloppen 7 ter Klasse, die 49 Tangenten gemeinschaftlich haben, hievon geht 

 eine durch den Schnittpunkte von gg' und 14 bestehen aus den Verbindungslinien der Schnitt- 

 punkte von Cr 14 mit g' und ihren eptsprechenden auf g. Der Rest gemeinschaftlicher Tan- 

 genten, welcher 34 beträgt, gibt die Ordnung der Curve G 3i an, welche der Ort der übrigen 

 zwei Paare ist, die auf den Tangenten der Enveloppe 7 ter Klasse liegen. 



Die Curve K'f 1 , welche der Ort der Punktepaare auf den Tangenten von $ ist, hat 

 in den Fundamentalpunkten vielfache Punkte. Und zwar ergibt sich die Vielfachheit folgender- 

 massen. Von dem Punkte i (i = í. 2 . . . 6) gehen an K p Tangenten, welche -T je in zwei 

 Punkten y treffen. Die C 3 , welche durch y geht, bestimmt nun auf der Tangente iy von $ ein 

 Paar, dessen ein Punkt in i liegt. Jeder der Punkte í (i = 1 . 2 ... 6) ist also 2 jt-f acher 

 Punkt von KW. Analog ergibt sich, dass die Punkte 7 und 8 je 3ft-fache und der 

 Punkt 9 ein ft-fachen Punkt von K^ ist. 



So hat Cr 34 in den Punkten 1 — 6 je 10-fache, in 7 und 8 je 14-fache, in 9 einen 6-fachen 

 Punkt, da G 14 daselbst 4-fache, 7 -fache res. einen einfachen Punkt hat und g durch keinen 

 dieser Punkte geht, während iT 49 aus g, G li und Cr 34 besteht. 



IL Hyperelliptische Curven von der Ordnung 3w + l. 



10. Bezieht man einen Büschel unserer ursprünglich betrachteten C*, welcher durch 

 a, a geht, projektivisch auf den Büschel der 6 3 , so erzeugen beide eine Curve C\ welche in 

 den Punkten 1 — 6 Doppelpunkte, in 7 und 8 dreifache Punkte besitzt und durch 9 einfach 

 hindurchgeht. Diese C~ entspricht sich, wie man sieht in der Verwandtschaft selbst. Ihr 

 Geschlecht ist 15 — 2.3 — 6 = 3 und sie ist h y p e r e 1 1 i p t i s c h ; denn der Büschel C* ist 

 ein adjungirter und schneidet eine einfach lineare Schaar von zwei Punkten auf ihr aus. Jede 

 Curve 4 ter Ordnung, welche zu C adjungirt ist und durch einen Punkt a auf C 7 geht, geht 

 auch durch den Punkt «, welcher dem a in der Verwandtschaft entspricht und hieraus folgt 

 wieder der hyperelliptische Charakter der C. 



Eine C\ welche durch 9 geht, iii 7 und 8 dreifache Punkte, in 1—6 Doppelpunkte 

 hat, ist noch durch 



35 — 1 — 2.6 — 6.3 = 4 

 Punkte bestimmt. Seien nun a, b, c, d irgend vier Punkte der Ebene, welche die C. be- 

 stimmen, so kann man durch a einen Büschel C* legen, der noch durch « geht, sodann die 

 drei Curven Ci, 4 , C c 4 , C d * des Büschels projektivisch zuordnen den Curven C b 3 , C c 3 , C d 3 . Hie- 

 durch erzeugen die projektivischen Büschel (C*) a und (C 3 ) eine C ; , welche die durch die vier 

 Punkte a, b, c, d bestimmte ist. Diese ist nun hyperelliptisch und wir ersehen daraus, dass 

 alle Curven 7 ter Ordnung, welche in zwei Punkten dreifache, in 6 Punkten 

 Doppelpunkte besitzen und durch den 9 tcm Punkt gehen, welcher auf allen 

 C s liegt, die die 8 ersteren Punkte enthalten, hyperelliptisch sind. Die früher 



