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betrachteten k" bilden eine spezielle Manigfaltigkeit cc 2 , welche in der Manigfaltigkeit od 4 der 

 Curven C enthalten ist. 



Durch drei Punkte a, 6, c ist ein Büschel von Curven C bestimmt, welcher auch die 

 Punkte «, ß, /enthält. Bezieht man nun einen solchen Büschel projektivisch auf den Büschel 

 der C 3 , so erzeugen dieselben eine Curve C 10 der 10 ter Ordnung, welche in 9 einen Doppel- 

 punkt, in 7 und 8 je 4-fache in 1 — 6 je 3-fache Punkte besitzt. Von einer so erzeugten G 10 

 sind mithin 6 Punkte beliebig anzunehmen, drei bestimmen den Büschel der C" und die drei 

 anderen setzen die Projektivität fest. Umgekehrt sind von jeder Curve 10 ter Ordnung, welche 

 den Punkt 9 zum Doppelpunkt, die Punkte 7 und 8 zu vierfachen, 1 — 6 zu dreifachen Punkten 

 hat noch 



65— 3 — 2. 10 — 6.6 = 6 



Punkte willkürlich und wir ersehen wieder daraus, dass alle derartigen Curven 10 tec 

 Ordnung hyperelliptisch sind, denn sie lassen sich durch einen Büschel (C) und (C 3 ) er- 

 zeugen und ersterer ist ein adjungirter Büschel, welcher eine einfach lineare Schaar von 

 2 Punkten ausschneidet. 



Die Curven C 10 entsprechen sich selbst in der Verwandtschaft. 



11. Es gilt nun folgender allgemeine Satz: Jede Curve C m der m=(3ra + l) te " 

 Ordnung, welche in 9 einen (n — l)-fachen, in 7 und 8 je einen (?»-j- l)-fachen, 

 in 1 — 6 je ?i-fache Punkte besitzt, ist hypereiliptisch und entspricht sich in der 

 Verwandtschaft selbst. 



In der That eine der Curven C 4 , welche in 7 und 8 Doppelpunkte hat und durch 

 1 — 6 einfach hindurch geht, bildet mit n — 2 Curven C 3 zusammen genommen eine adjungirte 

 Curve der 4 -4- 3(w — 2) == (m — 3) len Ordnung. Hält man von den C 3 . . . n — 3 fest und 

 lässt eine den Büschel (C 3 ) beschreiben, so schneidet dieselbe auf C m eine lineare einfach 

 unendliche Schaar von 2 Punkten aus, denn jede C 3 schneidet die O ausserhalb der festen 

 Punkte nur in 



3(3« + 1) - (n — 1) - 2(n + 1) — 6ra = 2 

 Punkten. Seien diese a, a' auf einer festen Curve C a 3 . Dann werden alle C"\ welche in 9 

 einen (n — l)-fachen in 7 und 8 je (n-\- l)-fache und in 1 — 6 je ?z-fache Punkte haben, die C' a 3 

 in je zwei Punkten 6, h' schneiden, so dass bb' durch einen festen Punkt z auf C a 3 läuft, 

 durch den auch aa' geht. Nun bilden n Curven C 3 und die Gerade 78 zusammengenommen 

 auch eine C m der angegebenen Art, nur dass ein Schnittpunkt mit C a 3 nach 9 fällt, der andere 

 liegt auf 78" in 9', durch welchen Punkt C a 3 geht, so dass 99' auf C a 3 den Punkt r bestimmt. 

 Dieser liegt daher auf r und ist der Schnittpunkt von C 3 mit T, so dass also a' = u ist, 

 und mithin, das Punktepaar auf C"\ in welchem C 3 schneidet, ein Paar unserer Verwandt- 

 schaft ist. 



Hieraus ersieht man nun, dass auch die Curven C'"- 3 der m — 3 = 3(w — 1) + l ten 

 Ordnung, welche nicht zerfallen und in 9 einen (n — 2)-fachen, in 7 und 8 je n-fache, in 1 — 6 je 

 (n — l)-fache Punkte haben und mithin den Curven O adjungirt sind, sobald sie durch einen 

 Punkt a der O gelegt werden, sets auch durch den Punkt a gehen, welcher ihm entspricht 

 und der auch auf O liegt. 



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