36 



Eine Curve O ist bestimmt durch 



$m(m + 3) — 1 — l)w — (n + 1) (n + 2) — 3n(n + 1) = 2« 

 Punkte also eine 0~ 3 durch 2n — 2 und ein Büschel von (>- 3 durch 2n — 3 Punkte. 

 Nimmt man also von den 2« gegeben Punkten der O 2w — 3 zu Basispunkten eines Büschels 

 ( m _3)ter Ordnung, so kann man die drei letzten Punkte zur Bestimmung der Projektivität 

 dieses Büschels und des Büschels der C 3 verwenden und beide erzeugen dann die C m . Es sind 

 mithin alle C m projektivisch erzeugbar durch Büschel der C'"- 3 und C 3 , welche alle vielfachen 

 Punkte der C m zu Basispunkten haben. 



Das Geschlecht p einer solchen C m ist 



f(m— 1) ( m _2) — i(w — 1) (w — 2) — (w+l)m — 3n(n~ l) = 2n — 1 



und ein Büschel adjungirter Curven (m — 3) ter Ordnung ist in der That, wie wir sehen, durch 

 p — 2 =z 2« — 3 Punkte festgelegt. Von seinen Basispunkten fallen noch p — 2 auf C m und 

 er schneidet daher die O nur je in einem Punktepaar. 



12. Die Enveloppe der Verbindungslinien der Punktepaare auf der 

 Curve C 3 ^ 1 ist eine Curve (w-f- l) ter Klasse; dem Punkte k entspricht nämlich, nach 6 

 eine Curve k" der 7 t8n Ordnung, welche die Punktpaare auf den Stralen durch k enthält. Nun 

 schneidet k~ die C 3 "+ 1 ausserhalb der Fundamentalpunkte noch in 



7 . (3m + 1) — (» — 1) — 2 . 3 . (» + 1) — 6 . 2 . n = 2n + 2 

 Punkten, die zu Paaren auf n -\- 1 Strahlen durch k liegen. 



Die Envoloppe E der (n-\- l) ten Klasse ist rational. Wir werden zeigen, dass die- 

 selbe \ n(h — 1) Doppeltangenten hat. Der Ort der Punktepaare auf den Tangenten von E ist 

 nach 9 von der 7(*i -|- 1 ) ten Ordnung, und da C in + 1 ein Theil davon ist, so liegen die 

 übrigen Punktepaare auf den Tangenten von E auf einer Curve K in + 6 der (An + 6) ten Ordnung. 



Dieselbe hat in den Punkten 1 — 6 noch 2(n -(- 1) — w = (w -f- 2)-fache Punkte in 7 und 

 8 je 3(w + 1) — (n + 1) = 2(n + l)-fache Punkte und in 9 einen Doppelpunkt, da 0+ 1 da- 

 selbst einen (n — l)-fachen Punkt hat. 



Ist nun a ein Punkt von K 10 , der auf C 3n+1 liegt, so liegt auch der Punkt « auf K 10 

 und C 3 ^ 1 und au ist Tangente von r in y. Da nun in y zwei Schnittpunkte von «« mit r 

 zusammenfallen, so fallen in «« zwei Paare übereinander und K 4n + 6 muss daher auch durch 

 dieses Paar gehen. D. h. die Schnittpunkte von C 3n+1 mit K 10 sind auch Punkte von K in + 6 . 

 Nun schneidet K i0 die C Sn+1 ausser den Fundamentalpunkten noch in 



10 . (3« + 1) — 2(w — 1) — 2 . 4(w + 1) — 6 . 3 , n = 2n + 4 

 Punkten die paarweise so auftreten, dass ihre n-\-2 Verbindungslinien Tangenten von r sind. 

 Ist nun b ein Schnittpunkt von £>+ x und ür 4n + 6 , der nicht auf K 10 liegt, so gehen beide 

 Curven auch durch den zugeordneten Punkt ß und es ist bß die Verbindungslinie eines Paares 

 aa von 0+ 1 d. h. auf dieser Geraden liegen zwei Paare von Punkten der C 3n + l , dann muss 

 aber K in + 6 auch durch a, a gehen. Die Schnittpunkfe von K in + 6 und C 3 "+ 1 , die also noch 

 übrig bleiben, treten zu vier so gruppirt auf, dass sie auf einer Geraden liegen, die Doppel- 

 tangente von E ist. Da K in + <i die O 3 ^ 1 in 



(3n + 1) (An + 6) — 2(n — 1) — 4(n + l) 2 — 6n(n + 2) — (2« + 4),= 2m 2 — 2w 

 Punkten schneidet, so hat E in Ganzen \n(n — 1) Doppeltangenten. In speziellen Fällen 



