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können diese auch theilweise durch Wendetangenten vertreten sein, wie diess bei der Curve 

 3 ter Ordnung r die unserer Verwandtschaft zu Grunde liegt, der Fall ist, die ja die Enveloppe 

 E der hyperelliptischen Curve H 10 ist. 



Die Ordnung der Enveloppe E ergibt sich, da sie rational und von der (n -f- l) ten 

 Klasse ist, gleich 2n. Man kann dieselbe übrigens direkt bestimmen. Offenbar ist ein Punkt 

 von E derjenigen Curve k 7 zugeordnet, welche C 3n + 1 doppelt berührt. Durchlauft nun der 

 Punkt k eine Gerade g, so werden die entsprechenden h" einen Büschel beschreiben und jede 

 derselben trifft C 3n + l in 2n-\-2 Punkten, die auf (n -4- 1) Curven C 3 des Büschels liegen. Die 

 Curven O 3 welche diese Gruppen von (n-\-l) Punkten ausschneiden bilden, eine Involution 

 (n -j- l) ter Ordnung, welche 2n Doppelelemente aufweisst. Diese 2n Curven schneiden also 

 jede in einem Punktepaar, durch welches eine k 7 hindurchgeht, die 0+ 1 in diesem Punkte- 

 paar berührt. Auf g liegen daher 2n Punkte fe, deren k" die C' 3 "+ 1 doppelt berühren und 

 daher ist die Ordnung von E wie oben angegeben 2n. 



13. Die Enveloppe E berührt die Curve r in n -f- 2 Punkten. Es schneidet nämlich 

 ÜT 10 die C 3 ^ 1 in 2n -\- 4 Punkten (nach 12), die paarweise genommen n -\~ 2 Tangenten von 

 r liefern. Sei nun y der Berührungspunkt einer derselben auf y, so muss die k\ welche in 

 dem Paar «, a, welches zu y gehört, die 0+ 1 berührt, nothwendig zerfallen, da alle k 7 , deren 

 Punlite auf au liegen, die Gerade au in a und a berühren, also wenn sie auch C 3n + X berühren 

 solle, hat die k 7 in a und a einen, Doppelpunkt. Die k 7 gehört also dem Punkte y zu, odery 

 ist ein Punkt von -E, da aa Tangente in demselben an E ist, so berührt E die r in den 

 n-\-2 Punkten. 



III. Selbst entsprechende Curven der Verwandtschaft 14 ter Ordnung. 



14. Wir haben in (3) gesehen, dass einer Curve C^ der n ten Ordnung, welche in den 

 Fundamentalpunkten i=. 1, 2, ... 9 je einen «rfachen Punkt hat, eine Curve C"- ; entspricht 

 für die 



6 



n' =: lAn — w 9 — 7 (?i 8 -4- n. ) — 42{iii 



i 



sich ergibt. Hat C^ noch ausserhalb der Fundamentalpunkte in a einen vielfachen Punkt, so 

 wird C£. in et einen genau so vielfachen Punkt besitzen. 

 Wir setzen 



9 



3« — HiUi = v (1) 



i 



dann ist v die Anzahl Schnittpunkte eine Curve C 3 des Büschels durch 1 — 9 mit C". die nicht 



in die Fundamentalpunkte fallen. Führen wir noch 



6 



d = 3w — 2{m — 2n s (2) 



i 



ein, wobei also d die Anzahl Schnittpunkte von C£. mit r ist, die nicht in die Doppelpunkte 



fallen, so wird 



n' = 2n + 7v — M (3) 



6* 



