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Gleichung k = m -j- 2jt + £ (die letzte der Gleichungen 10) Rücksicht zu nehmen ; denn sie 

 ist für eine derartig projektivisch erzeugte Curve C% t per se erfüllt. 



Man kann übrigens auch durch einen Büschel von beliebigen Curven C". und den 

 dazu projekti vischen Büschel der C*. Curven erzeugen, die sich selbst entsprechen und die 

 der Ort der Paare sind, welche auf den Curven des Büschels der C" ť liegen. Man überzeugt 

 sich leicht, dass für die erzeugten Curven, die Gleichungen 10 stattfinden. 



Von dem Gesammterzeugniss der beiden Büschel ist natürlich die Coincidenzcurve H a 

 in Abzug zu bringen. 



IV. Die involutoriscne Verwandtschaft ll tei Ordnung. 



17. Wir sind in I. von einem Curvennetze 4 ter Ordnung ausgehend, zu einer Ver- 

 wandtschaft 14 ter Ordnung gelangt, die wir auch in bestimmter Weise durch einen Curven- 

 büschel 3 ter Ordnung definiren konnten, durch Zuhilfenahme einer rationalen Curve 3 tev Ordnung 

 r. Wie ersetzen nun im Folgenden die Curve r durch einen Kegelschnitt und zwar auf 

 folgende Art. 



Es seien 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 neun Schnittpunkte zweier Curven 3 ter Ordnung. 

 Wir legen durch 1, 2, 3, 4, 5 einen Kegelschnitt F, welcher von jeder Curve Cy des Bü- 

 schels durch 1 — 9 in einem Punkte y getroffen wird. Die Stralen durch y bestimmen auf 

 Cy eine lineare Schaar von zwei Punkten a, a, die wir einander zuordnen. Hiedurch wird 

 jedem Punkte a der Ebene in eindeutiger Weise ein Punkt a zugeordnet, so dass dem Punkt 

 a als b aufgefasst der Punkt a als ß entspricht. Die (?£, welche durch a, geht schneidet nämlich 

 r in einem Punkte, der mit a verbunden auf C% den Punkt a als Schnitt der Geraden 

 mit Cl bestimmt. Die Verwandtschaft ist mithin eindeutig involutorisch und 

 die Punkte 1 — 9 sind ihre Fundamental punkte. 



Nach einem bekannten Satze ist y für die Curve Cy, welche durch y auf r geht 

 der Gegenpunkt von 6, 7, 8, 9, so dass die Kegelschnitte C 2 des Büschels durch 6, 7, 8, 9 

 dieselben Punktepaare auf Cy ausschneiden, wie der Stralenbüschel durch y. Ein fester 

 Kegelschnitt Cl des Büschels wird nun von allen C 3 in Punktepaaren einer quadratischen 

 Involution geschritten, deren Centrum auf r liegt. Denn es möge Cy den Kegelschnitt Cl 

 in a und a schneiden, dann trifft aay den T noch in c, welcher Punkt das Involutionscentrum 

 ist, da die Cl den C% auch in einem Punktepaare b, ß schneidet, so dass b, ß durch c geht. 

 Die Punktreihe c auf r ist zum Kegelschnittsbüschel (C 2 ) projektivisch; denn die Kegel- 

 schnitte C' 2 , welche auf einer festen Cy die Punktepaare aa ausschneiden, sind projektivisch 

 zu dem Stralenbüschel, welcher diese Paare aus y projicirt, und letzterer schneidet r in der 

 Punktreihe c der Involutionscentren." 1 Hieraus ergibt sich eine neue Definition der Verwandt- 

 schaft: Ordnet man den Kegelschnitten C 2 eines Büschels die Punkte c 

 eines festen Kegelschnittes r projektivisch zu, und lässt einem Punkte 

 a den Punkt a entsprechen, in dem sich Cl und ca noch schneiden, so ist 



