43 



Die Curve k\ welche der Ort der Paare ist, die auf Stralen durch 

 eineu Punkt k der Ebene liegen, ist 5 ter k Ordnung und hat in 1 — 5 einfache, 

 in 6 — 9 Doppelpunkte. Durch einen Punkt a geht ein Büschel der k b , welcher auch durch 

 k und das zweite auf au liegende Paar a t , «j geht. Durch zwei Punkte ist k s und auch der 

 ihr zugehörige Punkt k unzweideutig bestimmt. 



Der Ort der Doppelpunkte voní; 5 isteinestheilsdieCoi'ncidenzcurve 

 -ff 7 , in jedem Punkte dieser berühren alle k b eine feste Gerade und eine hat daselbst einen 

 Doppelpunkt, anderntheils eine Curve 5 ter Ordnung K 5 , auf welcher aber die 

 Doppelpunkte der fc 5 stets gepaart in a und a auftreten und in Folge dessen 

 zerfallen die k s ; denn die C%, welche durch den Doppelpunkt a geht, geht auch durch den 

 Doppelpunkt a und muss daher ein Theil von & 5 sein. Der andere Theil ist der Kegelschnitt 

 durch 6, 7, 8, 9 und a, a. Die Curve K b ist der Ort der Schnittpunkte der Tangenten von 

 r mit den Curven C 3 , welche durch ihre Berührungspunkte auf r hindurchgehen. Hieraus 

 erkennt man, dass K s in 1 — 5 einfache, in 6 — 9 Doppelpunkte hat. Die aus 

 der Curve C 3 , welche durch y geht, und dem Kegelschnitt k"- des Büschels (6, 7, 8, 9), der 

 durch das Paar au auf der Tangente t in y geht, welches C 3 ausschneidet, bestehende Curve 

 5 ter Ordnung ist die k b , welche y zugehört. 



Da nun die fc 5 , welche ihren Punkt k auf t hat, durch das einzige auf t liegende 

 Paar a, u hindurch geht, so berührt sie t in a und a oder t ist Doppeltangente aller k s , deren 

 k auf t liegt. Hieraus folgt : Durch den Punkt k gehen zwei Doppeltangenten an 

 7e?, nämlich die Tangenten von F. Es kann auch K b jede k b nur in 4 Punkten schneiden, 

 die paarweise auf Stralen durch k liegen. Diess ergibt sich durch Abzählen ohne weiters. 



Die R' trifft eine k b noch in 



5.7 — 5.1 — 4.6 = 6 

 Punkten d. h. durch k gehen 6 einfache Tangenten von ä: 5 . Hieraus folgt, die Klasse von k 5 

 ist 2 . 2 + 6 + 2= 12, was auch die Plückersche Formel gibt. 



Ferner folgt: Die Enveloppe der Richtungen, in denen «, a auf ff 7 

 zusammenfallen, ist eine Curve der 6 ten Klasse E s . 



Die Ordnung der Curve, die aus den Paaren besteht, w eiche auf den 

 Tangenten einer Curve der fi-Klasse liegen, ergibt sich als 5ft. Denn die 

 Klasse der Curve, welche die Punkte a einer Geraden, mit den Punkten «, der ihr entspre- 

 chenden G 11 verbindet, ist fünf, indem durch jeden Punkt k die 5 Strahlen gehen, welche k mit 

 den Schnittpunkten der k* mit g verbinden. Diese Enveloppe hat mit der Enveloppe ju ter Klasse 

 öfi Tangenten gemeinschaftlich, auf denen Punktepaare liegen, von denen ein Punkt auf g fällt. 



Die Curve KW 5,« ter Ordnung hat in 1—5 je ft-fache, in 6 — 9 je 2ft-fache 

 Punkte. 



So ist der Curve G n noch eine K i3 zugeordnet, welche das ander Punktepaar enthält, 

 das auf der Verbindungslinie des Punktes a von G und u von G il liegt. K li hat in 1—5 je 

 3-fache, in 6—9 je 5-fache Punkte. 



