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V. Hyperelliptische Curven der Ordnung 3rc+2. 



19. Jede Curve C Sn + 2 der Ordnung m = 3« -\- 2, welche in den Punkten 

 1— 5 je ?i-fache Punkte, in 6 — 9 je (n+l)-fache Punkte besitzt, entspricht 

 sich in der Verwandtschaft ll ter Ordnung selbst, und ist eine hyperelliptische 

 Curve. 



Vor Allem ersieht man, dass jede C 3 des Büschels durch 1-9 eine solche C 3n + 2 

 ausserhalb der Fundamentalpunkte nur mehr in 



3(3« + 2) — bn — 4(ra -4- 1) = 2 

 Punkten schneidet. Umgekehrt wird eine feste Q, welche durch den Punkt a geht, von allen 

 (jsn+2 ,j er |j en bezeichneten Art nur in je zwei Punkten geschnitten, deren Verbindungsgerade 

 mithin durch einen festen Punkt y von C% gehen muss. Nun bilden aber n Curven C 3 mit 

 einem Kegelschnitt durch 6, 7, 8, 9 zusammen eine C 3 "+ 2 , von welcher der letztere die C a 

 in 2 Punkten schneidet, deren Verbindungslinie durch den Gegenpunkt y der vier Punkte 6, 

 7, 8, 9 für C% gehen muss, d. h. y liegt auf dem Kegelschnitte r durch 1—5 und die Punkte- 

 paare, in denen alle Curven C 3n + 2 die C% schneiden, werden auch vom Kegelschnittsbüschel 

 durch 6, 7, 8, 9 ausgeschnitten, und sind entsprechende Punkte unserer Verwandtschaft. 

 Trifft mithin die Cl eine beliebige C 3n + 2 der oben angegebenen Art in a, so geht sie auch 

 durch « und dieser Punkt liegt auch auf C 3n + 2 . Hieraus folgt: Jede (? 3 "+ 2 , welche in 

 1 — 5 je ?i-fache, in 6 — 9 je (ra-4- l)-fache Punkte hat, entspricht sich in der 

 Verwandtschaft ll ter Ordnung selbst. 



Da dasselbe für alle Curven (m — 3) ter =: 3(n — 1) + 2 ter Ordnung gilt, welche in 

 1 — 5 je (n — 1 Hache, in 6 — 9 je «-fache Punkte haben, so ersieht man, dass jede adjungirte 

 Curve (m — 3) ter Ordnung der C"\ welche durch einen Punkt a derselben geht auch durch 

 den Punkt« gehen muss, woraus der hyper elliptische Charakter der Curven 

 C 3n + 2 ersichtlich. 



20. Eine C Sn + 2 ist bestimmt durch 



l (3)i -f 2) (3»i -f 5) — 5 . £ n(n + 1) — 4 . A- (n + 1) (n -j- 2) = 2« -f 1 

 Punkte, mithin ist eine Curve (m — 3) iei Ordnung, die zu O adjungirt ist, bestimmt durch 

 2n — 1 Punkte und ein Büschel solcher Curven durch 2n — 2 Punkte. Man kann daher jede 

 C 3 "+ 2 durch einen Büschel von Curven C 3 und C 3 *"- 1 ^ 2 projectivisch erzeugen. Denn nimmt man 

 2« — 2 von den 2« -4- 1 gegebenen Punkten zu Basispunkten eines Büschels [3(w — 1) -4- 2] ter 

 Ordnung an, so kann man die letzten drei dazu benützen, die Projektivität zwischen diesem 

 Büschel und dem Büschel C 3 festzulegen, wodurch dann beide die C 3 ^ 1 erzeugen. 



So z. B. sind von einer C 5 , welche in 1—5 je einfache, in 6—9 je Doppelpunkte 

 besitzt, noch 3 Punkte willkürlich. Sind dieselben beliebig gegeben, so kann durch sie die 

 Projektivität des Curvenbüschels (C 3 ) und des Kegelschnittsbüschels durch 6, 7, 8, 9 fest- 

 gelegt werden und beide erzeugen die C 5 . Man erkennt, dass unsere früheren k b , welche schon 

 durch 2 Punkte bestimmt waren, eine spezielle Mannigfaltigkeit der C 5 bilden. 



21. Verbindet man die Punktepaare auf einer C 3n + 2 , so ist die Enveloppe E der 

 Geraden eine Curve der (« + l) ten Klasse, denn durch einen Punkt k gehen (« + 1) Tan- 



