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genten derselben, da die h b eine C 3n + 2 in 



5(ßn + 2) — 5 . n — 4 . 2 . \n + 1) = 2n -f 2 

 Punkten schneidet, die paarweise auf Stralen durch fc liegen. 



Die Enveloppe i? ist eine rationale Curve, indem sie i- n{n — 1) Doppeltangenten 

 besitzt. Denn die zugeordnete Curve K, welche die anderen Paare enthält; die auf den Tan- 

 genten von E liegen, ist von der 5(w -4- 1) — (3« -j- 2) = (2w -4- 3) ten Ordnung, und hat in 

 1 — 5 je \n -f- 1) — w = 1 -fache, in 6 — 9 je 2(« +1) — (n -f- 1) = (« + l)-fache Punkte. Nun 

 schneidet aber Z 2n + S die C 3 "+ 2 überall dort, wo C 3n + 2 von iT 5 getroffen wird, d. h. in 



5(3« 4- 2) — 5 . n — 4 . 2(ra + 1)'— 2» + 2 

 Punkten, in denen je zwei Paare sich decken. Es bleiben daher noch 



3(ra -f 2) (2h + 3) — 5n + 4(ra -f 1)° — (2n -4- 2) = 2?i 2 — 2« 

 Schnittpunkte von C 3,! + 2 mit K 2n + 3 übrig, welche zu 4 auf Geraden liegen, die also l n(n — 1) 

 Doppeltangenten von E sind. 



Man kann auch hier die Ordnung der Enveloppe E direkt bestimmen, wie es in II, 

 12 geschah und findet für dieselbe 2«. 



Ebenso ergibt sich, dass der Kegelschnitt r von der Enveloppe Em n-\-2 Punkten 

 berührt wird. 



22. Die Curven 5 ter Ordnung C'°, welche in 1 — 5 je einfache, in 6 — 9 Doppelpunkte 

 haben, kann man dazu benutzen die Verwandtschaft ll ieä Grades durch ein Netz von Curven 

 5 ter Ordnung analog zu definiren, wie es Eingang in I. durch die Curven 4 ter Ordnung für 

 die Verwandtschaft 14 ter Ordnung geschah. 



Die C 3 , welche nämlich durch den festen Punkt 6, also auch den entsprechenden ß 

 gehen, bilden ein Netz und je zwei Curven schneiden einander ausser in den Fundamental- 

 punkten und in 6, ß nur noch in zwei Punkten, die offenbar ein Paar aa bilden. Man ersieht, 

 dass die Wahl des Punktepaares b, ß beliebig ist, und dass den Fundamentalpunkten 6, ß 

 keine Fundamentalcurven entsprechen. Die Jacobische Curve des Netzes der C 5 , welche 

 durch 6, ß gehen, besteht aus der Co'incidencurve IT, aus der Curve dritter Ordnung C% und 

 dem Kegelschnitte durch 6 — 9, welcher das Punktepaar 6, ß enthält. 



VI. Selbstentsprechende Curven der Verwandtschaft ll ter Ordnung. 



23. Die Ordnung rí der Curve C"' ; , welche der Curve C n H in der Verwandtschaft 

 ll ter Ordnung entspricht, die in den Fundamentalpunkten i je einen «rfachen Punkt hat, 

 ergibt sich nach IV, 17 : 



h' == 1 In — 2 Ei iii — 5& n K . 

 i 



Setzen wir nun wieder wie in (III, 14) 



9 



?>n — -£ iii =r v (1) 



wobei also v die Anzahl Schnittpunkte einer Curve C 3 des Büschels mit der C n H bedeutet 



