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Die bei d t ) auftretenden 7 Curven führen zu Schaaren © 15 welche 

 identisch mit 31 sind. 



Bei d 2 ) resultiren 4.35 = 140 C 9 , ebensoviele Schaaren $D 2 , welche sich jedoch 

 sämmtlich der Abt h eilung 33 einreihen. Nachdem diese Punkte erledigt sein werden, 

 bleiben im Ganzen 36 distincte Schaaren. 



II. e) Soll S den Doppelpunkt a haben, so muss seine Ordnung wenigstens 3 sein, 

 und eine C 3 mit dem Doppelpunkt a übernimmt die Rolle des S, falls sie 6 Punkte g ent- 

 hält. Hier gibt es sieben Fälle von C 9 und sieben Schaaren (5. 



Sei G eine Gruppe, etwa ausgeschnitten von S durch 2, 3 ... 7, so liegt G auch auf 

 einer Curve Z 6. Ordnung, welche 1 zum dreifachen Punkt, 2, 3 ... 7 zu Doppelpunkten hat. 

 Da diese E mit jeder C 3 die durch 2, 3 ... 7, nicht aber durch 1 geht, eine Ě 9 ausmacht, 

 so wird die durch G bestimmte Schaar einfach von diesen C 3 ausgeschnitten. 



Insbesondere kann jede der Schaaren ß — z. B. die durch G in div i- 

 dualisirte — durch c© 3 Curven C 6 ausgeschnitten werden. Um dies einzusehen, 

 ist zu beachten, dass die dem Punkte 1 in (aa) entsprechende Q 3 , welche auf J 6 nur noch 

 die Punkte 1', 1" besitzt, mit jeder durch 2, 3 ... 7 gelegten C 3 eine S 6 ausmacht. Ist 6r, 

 eine zweite Gruppe, so geht durch 1', 1" und 3 Punkte von 6r x stets eine C 6 , und diese muss 

 die drei fehlenden Punkte von G x aufnehmen. Also wird die Schaar durch diejenigen 

 C 6 ausgeschnitten, welche in 1 dieselben Doppelpunktstangenten haben, 

 wie J 6 . 



f) Endlich kann als S eine C* mit dem Doppelpunkte a genommen werden, sofern 

 C* noch zwei Doppelpunkte unter den g, die andern 5 zu einfachen Punkten hat, denn so 



1 C 



wird £ von der 5. Ordnung. Es ergeben sich ' =21 C 9 und ebensoviele Schaaren ff. 



G sei die Gruppe, welche Q 4 liefert, deren Doppelpunkte a, 1, 2 sind, und welche 

 gleichfalls auf einer .SeeeC 5 liegt, die «, 3, 4 . . 7 als zweifache, 1, 2 als einfache Punkte 

 enthält, so bildet diese C 5 mit jeder C*, die einfach dar 3, ... 7, doppelt durch 1, 2 geht 

 eine ß 9 ; folglich wird die co 3 Schaar von diesen C* ausgeschnitten. Ferner kann die- 

 selbe auch durch co 3 C 6 ausgeschnitten werden. Der Kegelschnitt A' 13 bildet 

 nämlich mit jeder der eben erwähnten C* eine 6 6 ; also wird die Schaar durch diejenigen C e 

 ausgeschnitten, welche sich durch die auf J 6 festen Punkte s 12 , s 21 legen lassen. 



Versteht man daher unter G eine Gruppe irgend einer der 28 Schaaren S, g, so 

 muss die durch 5 Punkte von G gehende C 6 auch den 6. Punkt enthalten, und J 6 , je nachdem 

 G zu den S oder den g gehört, entweder in einem der 7 Punktepaare p', ft", oder in einem 

 der 21 Paare spv, s Vi i schneiden. 



Nun folgt, dass keine Gruppe zweien Schaaren gemeinschaftlich ist, dass alle 28 

 unter sich verschieden sind. Die in Rede stehende Eigenschaft unterscheidet diese Schaaren 

 wesentlich von den 36 2Í und 33; da dieselbe keiner in letzteren enthaltenen Gruppe zu- 

 kommen kann: 



Beweis. Wir zeigen zuerst, dass wenn eine Gruppe G von dieser Eigenschaft zur 

 Ableitung einer Schaar benutzt wird, jede abgeleitete Gruppe G die nämliche Eigenschaft 

 besitzen muss. Zu diesem Ende legen wir durch die g eine C 3 , welche J 6 in 4 Punkten s 



