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in einem willkührlichen Punkte a einen Doppelpunkt zu haben.*) Danu aber erhält sie in « 

 ebenfalls einen Doppelpunkt, und muss, weil sie ausser 7 dreifachen 8 Doppelpunkte hat, 

 zerfallen. Bei diesem Zerfallen muss nothwendig der eine Bestandtheil £ zur entspre- 

 chenden Curve den andern 2 haben: Denn sich selbst entsprechende Curven von niederer 

 als der 9. Ordnung müssen (v. p. 7.) entweder von der 3. oder 6. sein; aber eine durch 

 1, 2 ... 7 und «, a gehende C 3 wird von einer C 6 ausser in a, a nur noch in 2 Punkten ge- 

 schnitten. Die sich überhaupt darbietenden Möglichkeiten sind wesentlich zweierlei Art : I. Der 

 eine Theil 8 der zerfallenden C 9 geht einfach durch a, a, mithin 2 auch. II. 8 hat a zum 

 Doppelpunkt und enthält a nicht, so dass 2 2mal durch a, nicht durch a geht. 



I a) Die Gerade aa ist 8, 2 ist die ihr entsprechende Curve 8. Ordnung, und wir 

 erhalten die schon erwähnte oo 3 Schaar 31. 



b) Ein Kegelschnitt durch a, a wird 8 darstellen, falls die ihm entsprechende 2 von 

 7. Ordnung ist. 



Verstehen wir vorläufig unter 8 irgend eine O, so wird 2 von der Ordnung 8m sein. 

 Wenn aber C m «mal durch einen der Punkte g etwa 1 geht, dem eine C v 3 entspricht, so ver- 

 mindert sich die Ordnung von 2 um 3n Einheiten. Geht demnach ein Kegelschnitt 8 durch 

 a, a und 3 der Punkte g, so stellt er mit 2 eine C 9 dar, welche 6 Doppelpunkte auf J 6 hat, 



7 6 5 

 die Schnittpunkte von 8, J 6 . Dieser C 9 gibt es somit ' ' = 35 und ebensoviel od 3 



X ■ Ji • ö 



Schaaren SS. 



Wenn z. B. der Kegelschnitt 123 aa = S aus J 6 die Gruppe G schneidet, so ist dadurch 

 die oo 3 Schaar bestimmt (v. p. 22). G wird aber auch von 2 ausgeschnitten, die mit jedem durch 

 123 gelegten Kegelschnitt K eine S 9 bildet; folglich liefert jeder K des Netzes eine Gruppe 

 dieser oo 3 Schaar. Wir werden zeigen, dass diese 35 Schaaren © unter sich 

 und von 91 verschieden sind. Unter [123] verstehen wir die Schaar, welche wir eben 

 erzeugt haben. 



Soll eine C 3 durch a, a die Rolle des Theiles £ übernehmen, so muss 2 auf die 

 Ordnung 6 herabgebracht werden. Dies könnte einmal dadurch erreicht werden, dass man 8 

 durch 6 Punkte g führt — da aber dann C 3 von selbst den siebenten g aufnimmt, und sich 

 selbst entspricht, so ist diese Annahme unzulässig — sodann dadurch dass 8 einen g zweifach, 

 vier andere g einfach enthält. 



7 fí 



Wir erhalten unter der letzten Supposition 5 . ' = 105 Curven C 9 , und dem 



entsprechend ebensoviele co 3 Schaaren S, die wir jedoch als in den 93 ent- 

 halten erkennen werden. 



d) Eine C 4 durch a, « kann als 8 figuriren vorausgesetzt, dass sie entweder: 

 d t ) durch einen der g dreimal, durch die andern einmal geht, oder 

 <&j) durch drei verschiedene g zweimal, durch drei andere einmal geht. 



*) Anmerkung. Die Aufgabe ist aufs engste verwandt mit dieser: „Gegeben eine allgemeine Curve C" 

 und ein Punkt d, diejenigen C 3 zu finden, welche O l in je 6 Punkten berühren, und in d einen 

 Doppelpunkt haben. Die im Texte folgende Aufzahlung der 0>, welche 6 Doppelpunkte auf J 6 und 

 sonst zwei in einem Paare a, a besitzen, ergibt: 36 + 28 + 5.21 + 7-1-4.35 = 316 Lösungen. 



