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durch 1, 2 . . . 7 drei C 3 , wovon die eine a, a, die zweite 6, ß die dritte C x s den Punkt x 

 enthält, betrachte sie zusammen als eine C 9 , dann muss C^ die G 3 in ?/ schneiden, daher 

 liegt in xy ein Paar von (a«) vor. Man kann auch sagen : die 3 Paare, die auf einer (P sind, 

 werden von 3 Geraden getragen, die sich in einem Punkte (der C x 3 ) schneiden. Wenn 

 demnach auf einer S L 9 mehr als 3 Paare vorkommen, oder 3, die nicht die 

 angegeben specielle Disposition haben, so ist sie eine C 9 . 



Auch folgt, dass nur eine C 9 vier Doppelpunkte auf der J 6 haben kann. In der That, 

 hätte S 9 , welcher ßj 9 entspricht 4 Doppelpunkte ď auf J 6 , so müssten diese <i auch Doppel- 

 punkte von Sj 9 sein, und beide Curven würden ausserdem J 6 noch in denselben 4 andern Punkten 

 treffen, was mehr Schnittpunkte von ß 9 G^ 9 ergibt, als deren auftreten können. 



Nach dieser Vorbereitung stellen wir uns die Aufgabe, diejenigen C 9 zu finden, 

 welche die Maximalzahl von 6 Doppelpunkten auf J 6 besitzen, oder was auf 

 dasselbe hinausläuft, die Gruppen G von 6 Punkten auf J 6 zu ermitteln, welche 

 als Doppelpunkte von C* auftreten. 



Wir kennen bereits eine co s Schaar solcher Gruppen, die nämlich auf J 6 von den 

 Geraden A der Ebene ausgeschnitten werden. Eine Gerade A bildet mit der ihr in (aa) ent- 

 sprechenden Curve 8. Ordnung eine der verlangten C 3 . Die ihr associirte A 3 ist, wie wir 

 sahen, der E* einbeschrieben, und mittels des von uns angewandten Raisonnements erkennt 

 man, dass jeder der gesuchten C 9 eine der E* einbeschriebene Curve 3. Klasse associirt ist, 

 wie auch, dass eine der E i einbeschriebene Curve 3. Klasse in ihrer associirten C° eine der 

 verlangten liefert. Daraus geht der Zusammenhang hervor, der zwischen der vorgelegten 

 Aufgabe und gewissen Problemen besteht, welche Clebsch in seiner für die Wissenschaft so 

 folgenreichen Abhandlung „Ueber die Anwendung der Abelschen Functionen in der Geometrie 11 

 (Crelle-Borchardt B. 63) entwickelt hat. 



Vor Allem beweisen wir den Hauptsatz, dass durch eine Gruppe G 

 eine dreifachunendlicheSchaarvonGruppen (oder Curven 6 9 ) bestimmtist. 



C 9 habe die G zu Doppelpunkten; durch G lege man zwei beliebige C 1 9 , C 2 9 , die 

 auf J 6 2 Gruppen G 1 , G 2 von je 6 Punkten ausschneiden, von welchen je 3 Punkte will- 

 kührlich sind. Es zeigt sich, dass (?,, G 2 einer C 3 9 angehören; denn diese 12 Punkte bilden 

 mit den doppeltgezählten G die sämmtlichen Schnittpunkte eines Ortes 18. Ordnung mit 7 

 6fachen Punkten auf J 6 . Legt man somit C 3 9 durch 9 Punkte von G y , (?„, so muss sie durch 

 die 3 übrigbleibenden gehen, weil sie in Verbindung mit C 9 einen eben solchen Ort 18. 

 Ordnung bildet. Lässt man jetzt Co 9 mit C x 9 zusammenfallen, so wird C 3 9 in jedem Punkte 

 der G v die J 6 berühren, also diese Gruppe zu Doppelpunkten haben. Aus diesem Beweise 

 ist zugleich ersichtlich, dass die <x> 3 Schaar von 6r n welche durch Variation von C, 9 gewonnen 

 wird, in gleicher Weise aus jeder beliebigen Gruppe G 2 der Schaar abgeleitet werden kann. 

 Besteht beispielsweise G aus den 6 Punkten einer Geraden A, so enthält die hierdurch be- 

 stimmte co 3 Schaar je 6 Punkte G 2 der J 6 , die in einer Geraden A„ liegen, weil A mit der 

 Curve 8. Ordnung durch G 2 eine S 9 constituirt. 



Da nun mit einer einzigen Gruppe eine dreifach unendliche Schaar von C 9 gegeben 

 ist, welche der an sie gestellten Anforderung Genüge leisten, so wird die obige Aufgabe eine 

 bestimmte werden, wenn wir der aufzusuchenden Curve noch die Bedingung auferlegen, 



