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2123, 21'23'; 2123', 21'© zwei Paare von (aa); woraus folgt, dass die beiden Tangenten von c 

 an ff a ein Paar von c 2 sind. 



Legt man ferner durch irgend zwei homologe Punkte der Ebene Tangenten an -ff 2 , 

 so bemerkt man sofort, dass die gegenüberliegenden Ecken des von ihnen gebildeten voll- 

 ständigen Vierseits wiederum gepaart sind ; dass somit diese 6 Ecken als Gruppe I genommen 

 werden können. Von der noch erforderlichen Gruppe II kann man nun auf einer 6 3 des ge- 

 fundenen Büschels (I) ein Paar « 2 a 2 willkührlich wählen. Alsdann lege man von a 2 an ff 2 

 eine Tangente L, schneide mit ihr ß 3 in & 2 , c„, und projicire aus a 2 diese Punkte nach y a , 

 ß„ auf ß 3 . Auf diese Weise erhält man in Folge bekannter Eigenschaften der Curven dritter 

 Ordnung zwei Paare & 2 ß 2 , c 2 y 2 \ und es liegt in a 2 b 2 c 2 a 2 ß 2 y 2 die gesuchte Gruppe II vor. 

 Die beiden Geradenquadrupel müssen nach obigem Satze einem Kegelschnitt umbeschrieben 

 sein, und dieser ist ff 2 selbst, weil H' 1 gemäss der Construction 5 der 8 Geraden berührt. 

 Nach dieser Auseinandersetzung bietet der Beweis des folgenden Satzes keine Schwierigkeit: 



Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass das Netz 

 der & 3 ein Netz erster Polaren sei, besteht darin, dass der associirte Ke- 

 gelschnitt ff 2 in a Q b c ein Tripel conjugirter Pole hat. Die Fundamental- 

 curve Cj 4 ist in diesem Falle die dem ff 2 in der Steiner'schen Verwandt- 

 schaft entsprechende Curve. 



Die hiernach an H" zu stellende Forderung wird durch einen einzigen Kegelschnitt 

 realisirt, durch denjenigen nämlich, dessen in a 2 , b 2 , c 2 befindliche Tangentenpaare durch die 

 Seiten des Dreiecks a ^o c o harmonisch getrennt sind. Wird andererseits ein Kegelschnitt an- 

 genommen, der das Tripel a b o c besitzt, so ist damit die zu Grunde zu legende Steiner'sche 

 Verwandtschaft schon blos durch ihre Hauptpunkte a a b c Q völlig bestimmt. Diesem gemäss ist 

 alsdann die C Y * dadurch charakterisirt, dass ihr Doppelpunktstangenten zugleich ihre Wende- 

 tangenten sind. 



Ich habe im 6. Bande dieser Abhandlungen (VI. Folge) einige specifische Eigenschaften 

 dieser Q 4 entwickelt, von den Herren Em. Weyr und Schoute sind andere publicirt worden. 

 Auch diese letztern kommen, wie wir sehen werden, ausschliesslich den Ci 4 zu — was 

 bisher noch nirgendwo bewiesen wurde — und sie haben ihren wahren Grund in dem Um- 

 stände, dass auf einer jeden cubischen Polare a b c als Hessisches Tripel auftritt: 



a) Betrachtet man z. B. eine in L, A 2 zerfallende cubische Polare, so berühre L die 

 ff 2 in l, A 2 die Q 4 in dem gepaarten Punkte A. Die durch A gehenden cubischen Polaren 

 enthalten l und constituiren einen Büschel, in welchem nur eine existirt, die C/ in A berührt; 

 diese ist somit L, A 2 , und A ihr Pol; d. h. die zerfallenden Polaren haben ihre Pole 

 A auf Ci 4 , oder die Berührungspunkte der Tangenten von A an C^ 4 fallen auf 

 eine Gerade L. (Weyr, zur Lemniscate.) 



b) Ist ß 3 eine Polare, p ihr Pol, so wird (P von einem Kegelschnitt in a , b , c 

 berührt, deshalb muss durch die 6 Schnittpunkte von G 3 , C y * ein Kegelschnitt gehen, oder 

 die Berührungspunkte der 6 Tangenten von p an Q 4 fallen auf einen Ke- 

 gelschnitt (Schoute). 



Und wenn umgekehrt eine C 4 mit den Doppelpunkten %b c , und der Eigenschaft 

 vorausgesetzt wird, dass für jeden ihrer Punkte A die cubische Polare zerfällt, so muss a b c 



