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Der hyperelliptische Charakter der C 3n erhellt jetzt daraus, dass eine C 3 ("- 2 > ihr ad- 

 jungirt ist, und falls sie a enthält, auch a aufnehmen muss. Nimmt man ferner auf C 3n p — 2 

 Punkte <%, a 2 . . . an, so sind dadurch noch ebensoviele a auf C 3n mitbestimmt, welche als ein- 

 fache Grundpunkte eines Büschels von C 3 *-"- 1 ) dienen können. Jede Curve schneidet dann 

 C 3 " noch in einem Punktepaar a, a, welches zugleich auf einer Curve von {C\ liegt, dem- 

 nach ist die projectivische Erzeugung evident. 



Den C 3 " sind alle Cur ven H n ??. ter Klasse der Ebene associirt, welche 

 in mp eine n — lfache Tangente besitzen. 



Beweis. Zunächst ist leicht einzusehen, dass die associirte einer C 3n von der n ten 

 Klasse ist, und mp nur n — lfache Tangente hat: Denn zu einem beliebigen Punkte p gehört 

 eine C 3 des Netzes, welche C 3 " in 9n — In = 2n einfachen Punkten schneidet, die paarweise 

 auf Strahlen von p liegen. Wird aber p auf der Geraden mp angenommen, so gehört zu ihm 

 eine der (C 3 \, und diese hat nur noch ein auf einem Strahl von p befindliches Punktepaar 

 mit C 3 " gemein. 



Ferner ist eine H" mit der ?i-lfacher Tangente mp durch 2n einfache Tangenten A x , 

 A}, A 3 ... bestimmt. Sind a 15 a x ; a„, « 2 ; die auf denselben liegenden Paare, so lässt 

 sich eine C 3n durch die 2n Punkte a 1: a 2 . . . . legen; diese aber enthält auch u 1 , cc 2 . . . und 

 hat die angenommene H n zur associirten Curve. 



Will man die H n durch ihre Punkte bestimmen, so ermittele man die C 3 , welche die 

 C Sn in den Punkten eines Paares berühren; die Punkte p, zu welchen diese C 3 gehören, sind 

 Punkte der H n . Jede C 3 eines Büschels schneidet aus C Sn n Paare, zwischen denen, da sie 

 auf n Tangenten der rationalen H" liegen, eine gewöhnliche Correspondenz 1, n — 1 besteht. 

 Folglich gibt es im Büschel 2(n — ■ 1) Curven, welche C Sn doppelt berühren, und weil die p, zu 

 denen jene C 3 gehören, auf einer Geraden sind, so ist 2(w — 1) die Ordnung der H n . Durch eine 

 ebenso einfache Correspondenz findet man, dass es im Netz der C 3 3(n — 2) Curven gibt, 

 von denen jede die C 3n in 2 gepaarten Punkten osculirt, dass endlich 2(n — 2) (n — 3) Curven 

 im Netze vorkommen, welche C Sn in je 2 Paaren berühren. Auf diese Weise erhält man die 

 3(n — 2) Spitzen, die 2(n — 2)(n — 3) Doppelpunkte der H n . 



21. (Fig. 1.) Die vorstehenden Betrachtungen beruhen' auf der Voraussetzung, dass 

 unter den g keine speciellen Kelationen der Lage obwalten.' Ist diese Voraussetzung nicht 

 erfüllt, so reducirt sich die Verwandtschaft (aa) auf einen niedrigem Grad, und es erleiden 

 die Sätze Modifikationen. Eine für die Theorie gewisser rationaler Curven 4. Ordnung wich- 

 tige Specialität werde hier näher untersucht. 



-41s 4 der sieben g sollen die Ecken eines Vierecks d 1 ä 2 á 3 d 4 angenommen werden, 

 als die 3 anderen die Schnittpunkte a , 6 , c der drei Geradenpaare, von denen jedes die 

 4 d enthält. Man beweist leicht, dass (a a) sich auf den 2. Grad reducirt, und nichts anderes 

 ist als die Steinersche Verwandtschaft, für welche a , b , c die Hauptpunkte, d die 4 sich 

 selbst entsprechenden Punkte darstellen. Die eben genannten Geradenpaare vertreten die J 6 

 des Netzes der C 3 , die E* besteht aus den 4 Strahlenbüscheln (d). 



In unserem Falle lässt sich nun die Verwandtschaft (ad) auf eine neue Weise definiren 

 und dadurch gelangt man zueinem neuen Netze von in (a a) sich selbst entsprechenden S 3 . Seien 



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