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b) Einer C 6 , die auf J 6 in ä einen Dopelpunkt hat, entspricht eine H 2 , 

 welcher die E* in dem Punkte p{ berührt, der dem d auf E* entspricht und 

 umgekehrt: berührt H* die E* in p x , so ist H 2 einer C 6 associirt, die in d 

 einen Doppelpunkt hat. 



Die Construction der Tangenten an H- für irgend einen Punkt p auf dp 1 liefert ausser 

 pd nur eine Tangente, da die zu p gehörende C 3 die C 3 ausser in d noch in 2 Punkten 

 schneidet, die auf eine Gerade durch p fallen. Wird aber p x selbst angenommen, dem die C 3 

 entspricht, welche «5 zum Doppelpunkt hat, so sieht man, dass von p 1 an i? 2 keine Tangente 

 ausser p^ geht, folglich muss H 2 die dp in p x berühren. 



Die Mannigfaltigkeit der C 6 , welche in d einen Doppelpunkt haben, ist leicht anzu- 

 geben: Soll eine G 6 in ď die Gerade dp berühren, so sind von ihr noch 4 Punkte willkührlich, 

 durch drei Punkte «, 6, c geht also noch ein Büschel C 6 , in welchem eine Curve ist mit 

 dem Doppelpunkt d. Wenn demnach ein Kegelschnitt H 2 vorliegt, der in p x die^>ď berührt, 

 A, B, C drei seiner Tangenten, aa, bß, cy, die auf ihnen liegenden Paare sind, so gibt es 

 eine C B mit dem Doppelpunkt ä durch a, b, c. Dieser wird dem Kegelschnitt associirt sein, 

 der zu Tangenten A, B, C\ dp hat und dp in p x berührt, mithin identisch mit i? 2 ist. Mit 

 den cc 3 C 6 , die wir hier angeben, sind sämmtliche Curven 6. Ordnung erschöpft, welche die 

 8 Doppelpunkte g und d haben können. 



Es eröffnet sich hier ein bisher nicht betretener Weg, die 63 Systeme 4fach be- 

 rührenden Kegelschnitte zu entdecken, welche eine allgemeine Curve 4. Klasse, demnach auch 

 eine solche 4. Ordnung zulässt: 



19. Die 63 Systeme von Kegelschnitten, welche der E* einbes chrieben 

 sind (sie in 4 Punkten berühren). 



Einer C 6 , welche auf J 6 4 Doppelpunkte d hat, ist ein Kegelschnitt H 2 , associirt, der 

 die E* in den 4 Punkten p, die jenen d entsprechen, berührt, und umgekehrt ist jeder E* 

 eingeschriebene Kegelschnitt einer C 6 mit 4 Doppelpunkten d associirt. Die vier Punkte d 

 nennen wir ein Quadrupel von J 6 , die 4 Tangenten dp ein Quadrupel der E*. Weil eine C 6 

 dieser Art 11 Doppelpunkte besitzt, so muss sie zerfallen; und zwar entweder a) in eine Ge- 

 rade L und eine Curve 5. Ordnung, oder b) in einen Kegelschnitt L 2 und eine Curve 4. 

 Ordnung, oder c) in 2 Curven 3. Ordnung. 



Beachtet man, dass die 4 Punkte d und die g alle Punkte sind, welche C 6 und J 6 

 gemein haben, so zeigt eine einfache Ueberlegung, dass im Falle a) die Punkte d und ein g 

 auf L, im Falle b) die d und 4 g auf L 2 liegen müssen, im Falle c) die beiden Curven 3. 

 Ordnung durch die d gehen und sich noch in 5 Punkten g schneiden müssen, während jeder 

 der beiden übrig bleibenden g Doppelpunkt einer der Curven ist. Diese möglichen Fälle 

 treten in der That auf: 



Einer Geraden L durch g x entspricht in (aa) eine Curve 5. Ordnung A 5 , welche die 

 <jr 2 . . . <7, zu Doppelpunkten hat, durch g x geht und i in 4 Punkten der J 6 schneidet. L und 

 V machen also eine solche C 6 aus. 



Einem Kegelschnitt K entspricht in (aa) eine Curve 16. Ordnung C 16 mit 16fachen 

 Punkten in den g; denn eine Gerade A hat mit C 16 so viele Punkte gemein, wie die C 8 



