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Die hyperelliptischen C 6 vom Geschlechte 3. 



Jede Curve 6. Ordnung C 6 , welche die sieben g zu Doppelpunkten hat und ein Paar 

 aa enthält, ist hyperelliptisch und entspricht sich selbst in der Verwandtschaft (aa). Sie ist 

 projectivisch erzeugbar auf unendlich vielfache Weise durch den Büschel (C 3 ) l mit den Grund- 

 punkten g, a, a, in Verbindung mit einem anderen Büschel zu dessen Grundpunkten die g 

 ebenfalls gehören. 



Von einer C 6 mit dem 7 Doppelpunkten g sind noch 6 Punkte, von denen keine zwei 

 zu (aa) gehören, willkürlich sie ist durch diese bestimmt. Sind a, 6, c, d, e 5 solche Punkte, 

 so geht durch sie ein Büschel von C 6 , eine davon C 1 also durch a. Wenn ß mit b gepaart ist, 

 so gibt es einen Büschel (C 3 ) 2 mit den Grundpunkten g, b, ß. Bezieht man diesen auf (C 3 \ 

 derart projectivisch, dass die 3 Curvenpaare beider Büschel, die respective durch c, d, e gehen 

 einander entsprechen, so erzeugt diese die C ti . Die Punktepaare, welche auf ihr auftreten, sind 

 in der Verwandtschaft (aa) und jede adjungirte 3. Ordnung, welche durch einen Punkt eines 

 Paares geht, enthält auch den andern. 



Da aber auch jede hyperelliptische C 6 vom Geschlechte 3 auf diese Weise erzeugt 

 werden kann, so entspricht sie sich selbst in (aa). Von einer solchen C s sind nach dem Ge- 

 sagten 5 und nur 5 Punkte willkürlich, mithin existirt in jedem Büschel von Curven 6. Ordnung 

 mit den 7 Doppelpunkten g eine hyperelliptische C 6 vom Geschlechte 3, die anderen Curven 

 mögen mit ß 6 bezeichnet werden. 



Wir machen hier auf einen Irrthum aufmerksam, der bei den besseren mathematischen 

 Autoren, wie Cremona, Clebsch-Lindemann sich findet. Es heisst, das man auf eine Curve C 2 " 

 die ri 2 Grundpunkte eines Büschels von C" bringen könne, indem man von diesen n 3 Punkten 

 3« — 2 auf C 2n willkürlich annimmt. Hiernach könnte man glauben, dass, wenn die C 2 " 3n — 2 

 oder mehr Doppelpunkte hat, man die willkürlichen Punkte in diesen annehmen dürfe. Dies 

 ist nicht richtig, wie schon das Beispiel der C 6 zeigt. Es last sich aber beweisen, dass man 

 3m — 2 — v Doppelpunkte (wo v nothwendig > 0) als willkürliche Grundpunkte des Büschel's 

 von C" annehmen kann. 



Unter den S 6 ist auch die Jacobische J x 6 und es kommen unter ihnen auch Curven 

 vom Geschlechte 2 vor, diejenigen, welche ausser den g noch einen 8. Doppelpunkt </ 8 haben: 

 Liegt dieser nicht auf J 6 und ist mit y gepaart in (aa), so kann die Curve kein Paar aa enthalten, 

 wenn sie sich nicht durchweg selbst entsprechen soll ; alsdann müsste sie durch y gehen und 

 (nach 4) in zwei C 3 zerfallen. Ist dagegen g s ein Punkt Ó der J 6 ; so ist die Curve, wie wir 

 sehen werden (186) eine sich selbst entsprechende C 6 . 



18. a. Einer C 6 ist ein Kegelschnitt H^associirt, und umgekehrt, jeder 

 Kegelschnitt der Ebene ist einer bestimmten C 6 als associirte Curven zu- 

 gewiesen. 



Beweis. Die zu einem Punkte p gehörige C 3 schneidet C e in 4 Punkte, welche paar- 

 weise auf Strahlen von p liegen und zwei Paare in (aa) sind. Auf C 6 existirt kein anderes 

 Paar, das auch auf einem Strahl von p läge. Sei ÍT- ein beliebiger Kegelschnitt, A, B, C, Z>, E 

 5 seine Tangenten, auf denen die Paare aa, bß, cd, dů, sind. Dann geht durch diese Paare 

 6 5 , welcher H 2 associirt ist. 



