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Schnittpunkte der C 3n , C 6n + S auf Doppeltangenten der H n + 1 . Weil endlich jede Doppeltan- 



gente 4 dieser Punkte aufnimmt, so sind -^— ^ — - Doppeltangenten vorhanden, und H" + z ist 



vom Geschlechte Null. Vorausgesetzt, dass keine dieser Doppeltangenten eine Wendetangente 

 ist, wäre 2w die Ordnung der H n + 1 . Die Ordnung lässt sich auch auf folgende Art finden. 

 Die zu einem Punkte o der H"+ l gehörige C 9 berührt die C 3 " doppelt in zwei gepaarten 

 Punkten, und umgekehrt, gehört eine solche C 9 zu einem Punkte der H n + 2 . Die Frage ist 

 also, wie viele C 9 sind in einem Büschel dieser Curven, welche die C 3n in Punktepaaren be- 

 rühren? Wegen der Rationalität von řř' + J besteht eine gewöhnliche Correspondenz 1,'ra 

 zwischen den n -4- 1 Paaren, welche die Curven eines Büschels C 8 auf C 3 " ausschneiden und 

 diese ergibt 2n Coincidenzen. 



Eben so leicht findet sich, dass im Netze der C 9 3 (n — 1) Curven sind, welche die 

 C 3 " in je einem Punktenpaar osculiren, die betreffenden Punkte o sind so viele Spitzen der 

 žř'+ 2 ; ferner gibt es 2{n — 1) (« — 2) Curven, welche die C 3 " in 2 Punktepaaren berühren, 

 die Punkte o sind die Doppelpunkte der H"^ 1 . 



Wir heben noch die Stellen auf C 3n hervor, wo ein Punkt a mit seinem entspre- 

 chenden a zusammenfällt. Erstens tritt dies ein in y, und zwar n — 2mal, auf jeder Tangente 

 der C 3n in y\ weshalb auch diese n — 2 Tangenten die H n + 1 berühren, zweitens in den 

 27w — 8 . 3n Schnittpunkten des J 9 mit C 3n , also überhaupt an 4» — 2 = 2p -\- 2 Stellen. 



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Hyperelliptische C' 3n vom Geschlechte 2n — 1. 



13. Wir haben unter I stillschweigend vorausgesetzt, dass der 9. Punkt y des Büschels 

 (C 3 ) mit keinem der 8 Punkte g zusammenfällt. Wenn dies geschieht, wenn etwa y auf g s 

 fällt, so reducirt sich die Verwandtschaft («, «), und ist durch die 7 andern Punkte g l . . . g, 

 allein bestimmt : Statt der Curve F hat man jetzt eine durch g s gehende Gerade, welche in 

 g H von jeder C? berührt wird; der noch auf r liegende Punkt der Q 3 ist dann y,, und jede 

 durch y t gehende Gerade schneidet aus C á 3 ein Paar a, a aus. Auf einer beliebigen 

 G er a den der Ebene liegt demnach nur ein Paar, weil die Gerade mit Fnur 

 einen Punkt gemein hat. 



Fasst man irgend ein Paar a, « auf, welches durch die Q 3 bestimmt wurde, so ge- 

 wahrt man, dass die 9 Punkte g x . . . g 7 , a, a Grundpunkte eines Büschels von C 3 sind : 

 Denn nach dem Bestsatze schneidet jede C 3 , welche die g i . . . g-, enthält, die Q 3 in zwei 

 Punkten, deren Verbindungslinie einen auf C 3 festen Punkt enthält. Da es nun solche C 3 

 gibt, welche Q 3 in g s berühren, so ist y t dieser feste Punkt, und jede durch g 1 . . . <?. , a ge- 

 hende C 3 muss durch « gehen. 



Die uns jetzt vorliegende Verwandtschaft (««) besteht also zwischen je zwei Punkten 

 a, «, welche mit g l . . . g : die Grundpunkte eines Büschels C 3 formiren. Wir werden daher 

 g s nicht weiter berücksichtigen, unter </ ; einen der 7 Punkte g, unter C 3 eine Curve des 



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