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Betrachtet man ferner eine T, die einen der Punkte d 2 trägt, so berührt diese die F, 

 etwa in y { : Nach Früherem gehört dann zu y t eine in Q 3 und G 6 zerfallende C 9 , und beide 

 Curven berühren in d 2 die T. Demnach liegt y, auch auf E 9 und T berührt sie hier ; also 

 berührt E 9 die r in 15 Punkten. E 9 und r haben ausserdem noch 24 gemeinschaftliche 

 Tangenten, welche den Punkten ď entsprechen, die auf C 8 24 fallen; in der That haben J 9 

 und C 8 24 9.24 — 8.24 = 24 einfache Punkte gemein. 



Weil E 9 24 Doppeltangenten hat, so ist ihre Ordnung 24, und weil jedem ihrer 

 Punkte o t eine C 9 mit einem Doppelpunkte ö auf J 9 zukommt, so folgt: 



In einem Büschel der C 9 sind 24 Curven, welche auf J 9 je einen Dop- 

 pelpunkt besitzen, überdies noch 4 in eine Q 3 und Q 6 zerfallende Curven, 

 welche also zwei gepaarte Doppelpunkte auf der C 15 haben. 



12. Einer hyper elliptischen Curve C von der Ordnung m und dem Geschlechte p ist eine 

 rationale Curve H, deren Klasse m — p — 1 ist, associirt: Die Geraden nämlich, welche die 

 auf C befindlichen Punktpaare tragen, umhüllen die H. Zieht man durch einen beliebigen 

 Punkt o einen Strahl, der die C in m Punkten a schneidet, und verbindet o mit den m 

 Punkten a, die mit a auf C gepaart sind, so erhält man in o eine Correspondenz m, m von 

 Strahlen, daher 2m Coincidenzen, von welchen die auszuscheiden sind, die von coincidirenden 

 aa auf C herrühren, bleiben übrig 2m — 2p — 2. Wenn aber auf einem Strahl von o ein 

 Paar aa liegt, so zählt dieser Strahl für 2 Coincidenzen, also gibt es m — p — 1 solcher 

 Strahlen. Für unsere C 3n ist p = 2n — 2, die associirte H" + z von der Klasse n -4- 1. Direkt 

 ergibt sich diese Zahl, wenn man C 3 " mit der zu o gehörigen C 9 schneidet: C 3 ", C 9 haben 

 ausser den in den vielfachen Punkten liegenden Schnittpunkten nach 2n-\-2 Punkte gemein, 

 welche paarweise auf Strahlen von o liegen müssen. 



Denkt man die auf C liegenden Paare a, a durch einen Büschel adjungirter Curven 

 von (m — 3) ter Ordnung ausgeschnitten, so erkennt man, dass die Tangenten der H eindeutig 

 den Elementen des Büschels entsprechen, woraus dann zu schliessen ist, dass H das Geschlecht 

 Null hat. 



In unserem Falle wollen wir die Doppeltangenten der H" + 1 ermitteln: Wenn auf 

 irgend einer Tangente der H n +* zwei getrennte Paare a, a vorkommen, so hat man eine 

 Doppeltangente. Nun haben die 4 Paare einer variablen Tangente der H'^ 1 einen Gesammtort 

 von der Ordnung 9 (n -j- 1), auf welchem jeder g 3 (w -4- 1) fach, pi-fl fach vorkommt. Für 

 den Ort der drei Paare, von denen im Allgemeinen keines auf C 3 " liegt; bleibt also eine 

 Curve 0+ 9 mit 2« -4- 3fachen Punkten in g und einem dreifachen Punkt in y. C 6n + S und C 3n 

 schneiden sich in: 



3« (6m -4- 9) — 8« (2m + 3) — 3 (n — 2) = 2n- + 6 

 einfachen Punkten, welche gepaart sind. Zum Theil gehören diese Paare den Doppeltangenten 

 der H n + 1 an, zum andern Theil sind es die vereinigten Paare, welche auf C 3n sind, d. h. 

 diejenigen, welche C 3 " mit C 15 gemein hat. C 3 ", C 15 schneiden sich in: 



45« — 8 . 5ra — 3 (n — .2) — 2n + 6 



Punkten, also liegen 



c l - 



2« 2 + 6 — 2w — 6 = 2m 2 — 2n 



