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aa, a'u' in o, so enthält die zu o gehörige C" J die beiden Paare ««, a'a'. Wenn hiebei a' un- 

 endlich nahe bei a liegt, so berührt die C 9 in a die ^4, und der Punkt o wird Berührungs- 

 punkt von au mit J. 9 . Kommt nun a in eine der 9 Lagen, wo « mit ihm sich vereinigt, so 

 muss die C 9 hier sowohl A als au tangiren, d. i. einen Doppelpunkt haben. Gehört sie dann 

 zum Punkte o 15 so ist dieser sowohl Berührungspunkt der betreffenden Tangente au mit E 9 

 als auch mit A 9 . 



Gestützt auf diese Betrachtung findet man sofort die Ordnung der -á 9 : 



Weil jedem Punkte o auf A 9 eine C 9 angehört, die A tangirt, und umgekehrt, den auf 

 einer Geraden liegenden o aber ein Büschel C 9 entspricht, so fragt es sich, wie viele Curven 

 eines Büschels (C 9 ) die A berühren? 



Deren gibt es bekanntlich 2 . 8, mithin ist 16 die Ordnung der A 9 . Mittels einer nahe- 

 liegenden Correspondenz auf A findet man, dass im Netz der C 9 21 Curven sind, die A os- 

 culiren, ferner 84, die A doppelt berühren, die zugehörigen o sind beziehlich Spitzen, Doppel- 

 punkte der A 9 . 



c) Sondert man von den Paaren, die auf einer Tangente aa der A 9 liegen, das eine 

 a, a ab, so bleibt als Ort für die 3 anderen eine Curve 63. Ordnung übrig (8), welche jeden 

 g zum 21-fachen, y zum 9-fachen Punkte hat. Kommt es nun vor, dass auf einer Tangente au 

 eines dieser Paare in einem Punkte d vereinigt ist, so wird au die E 9 berühren. Die Orts- 

 curve 63. Ordnung hat aber mit J 9 genau 63 Punkte gemein ; daher berühren sich die A 9 

 u. E 3 in 9 Punkten, und haben noch 63 gemeinschaftliche Tangenten. 



Die einer beliebigen Gerade A entprechende A 9 kann stets benutzt werden, um den 

 Ort der Paare zu bestimmen, welche auf den Tangenten einer Curve von gegebener Klasse 

 sind. Die r ist z. B. 6. Klasse, folglich ist der fragliche Ort 9 . 6 = 54. Ordnung, einer durch 

 g gehenden A gehört eine A 6 , also ist jeder Punkt g 18-fach, y dagegen 6-fach. Da aber in 

 diesem Ort die oben gefundene C IS als Ort der Doppelpaare vorkommt, so bleibt als Ordnung 

 für den Ort der beiden anderen getrennten Paare 54 — 2. 15 = 24, und jeder g ist ein 8-facher 

 Punkt, y liegt nicht auf diesem Orte. 



11. Die Curve E 9 besitzt 24 Doppel tangenten : Eine Tangente T der E 9 enthält im 

 Allgemeinen einen Punkt d, eines der 4 auf T liegenden Paare repräsentirend. Kommt es 

 vor, dass auf T zwei verschiedene ä sind, so ist T Doppeltangente der E 9 ; nur dann 

 nicht, wenn auf T zwei Ů sich zu einem Punkte <5 2 vereinigen. Mit Hülfe der A 9 ergibt sieh 

 als Ort der auf T liegenden Paare, eine Curve von 9.9 = 81. Ordnung, wobei die J 9 doppelt 

 mit gerählt ist. Folglich sind die Paare der T, welche von diesen S der J 9 verschieden sind 

 auf einer Curve von der Ordnung 63, mit 21-fachen Punkten in den g. 



Diese Curve geht durch alle mit ö 2 bezeichneten Punkte, welche nichts anderes sind 

 als die einfachen Schnittpunkte von J 9 mit C 15 (10 a). 



Aber die Curve 63. Ordnung hat mit J 9 : 9.63 — 8.63 = 63 einfache Punkte; (7 15 hat 

 mit J 9 15 einfache Punkte Ó 2 gemein, bleiben 63 — 15 = 48 Schnittpunkte von J 9 mit jener 

 Curve 63. Ordnung, und diese liegen paarweise auf Doppeltangenten der .E 9 , deren es somit 

 24 gibt. 



