Speciell : a) Die zum Punkte y gehörige C 9 bestellt aus den drei C 3 , welche y zum 

 Wendepunkt haben. In der Verwandtschaft (aa) entspricht y sich selbst, indem, wie schon er- 

 wähnt wurde, auf jeder Geraden durch y dieser Punkt mit dem ihm benachbarten gepaart ist. 



b) Die zu einem der g, etwa g l gehörige C 9 besteht aus C^ 3 , für welche g x Tangen- 

 tialpunkt von y ist, und einer C 6 , welche die andern g zu Doppelpunkten g t selbst zum 3-fachen 

 Punkt hat. Zieht man durch g l eine Gerade A, die r noch in y„ y i y t schneidet, so wird A 

 von C\ 3 in einem Paare, von C 2 3 , C 3 3 , C 4 3 in 3 anderen Paaren geschnitten, welche letztere 

 alle g r enthalten. 



Mithin hat A mit der dem g i entsprechenden C 5 ausser g y nur 3 Punkte gemein. Hiernach 

 kommt es auf einer um g l sich drehenden A dreimal vor, dass einer der 3 dem g l entsprechenden • 

 Punkte mit g x coincidirt, die Lagen von A, wo dies geschieht, sind die Tangenten der C 6 in 

 g. Direkt kann man dies durch eine Correspondenz zwischen A und den Tangenten der C 2 3 , 

 C 3 3 , C 4 3 in g v nachweisen. 



Die Correspondenz ergibt vier Coincidenzen, von denen eine aus nahe liegenden Gründen 

 nicht zu rechnen ist, die nämlich, welche in der Tangente von C L 3 in g x stattfindet. 



Indem man sich auf das eben Vorgebrachte stützt, beweist man den Satz: Wenn 

 eine Curve m !e >" Ordnung C" 1 in der Verwandtschaft sich selbst entspricht, so 

 ist stets m ein Vielfaches von 3, z. B. = 3«, und jede r^ist ein «fach er Punkt 

 der O : Gesetzt ein g t sei x t fach auf O. Dem g l entspricht eine C 6 , welche mit C m x i ein- 

 fache Punkte gemein haben muss; d. h. 



x x rr 6m — 3x 1 — 2x„ — ... — 2x s , 

 ebenso ist x„ ■==. 6m — 3x 2 — 2x x — ... — 2x % ; 



folglich x x = x„. 



Nun muss jede Q, 1 ' (cf. 10), welche die g zu 6fachen Punkten hat, und irgend einer 

 Geraden A in (aa) entspricht, mit C" 1 genau m einfache Punkte gemein haben, nämlich die 

 mit den Schnittpunkten von A, O gepaarten Punkte, d. h. 



lim — 48a; -)- m ; m = 3x. 



Hiebei ist ein Zerfallen der C ix in Bestandteile, die einzeln sich selbst entsprechen, 

 nicht ausgeschlossen. 



10. Wenn eine Gerade A der Ebene von a beschrieben wird, so durchlauft « eine 

 rationale Curve 17. Ordnung C 17 . Da es sich für 6 Lagen des a ereignet, dass a auf g { fällt 

 (9 6), so erhält diese Curve g t zum Gfachen Punkt. Wie viele Punkte a liegen auf einer 

 Geraden B'i 



Sei y ein auf B variabler Punkt, (C 9 ) der Büschel, welcher zu den a gehört. Eine 

 durch y gehende C 3 desselben schneidet 4 in a; dann findet sich a, indem man C 9 mit der 

 durch a gehenden C 3 schneidet, diese habe mit B die 3 Punkte 2 gemein. Jeder Punkt z 

 entspricht, wie man sieht, 27 Punkten y, was zu 30 Coincidenzen führt. Wird hiebei a in einem 

 der 4 Punkte y { angenommen, die auf r liegen, so besteht die C s aus der Q 3 und einer C 6 ; 

 die C 3 aber, mit welcher diese C 9 zu schneiden ist, wird identisch mit Q 3 . Mithin zählen die 

 3 Schnittpunkte von Q 3 und B auch als Coincidenzen, ohne dem Punkte y t in (aa) zu ent- 

 sprechen. Ferner zählt ebenfalls der Schnittpunkt AB als eine nicht in Betracht kommende 



