Tangente wird. In «, « sind dann zwei der auf aa befindlichen Paare vereinigt, d. h. aa 

 berührt die beiden Curven auch in a. Wenn also a, a nicht zusammenfallen, so wird aa 

 Doppeltangente jeder dieser C 9 , folglich muss aa die Curve r tangiren. 



Zerfallende C 9 . Wird o auf der Curve 4. Ordnung r angenommen, etwa in y l} 

 so fällt von den 4 Paaren, die auf jeden Strahl von y x sind, eins auf die zu y x gehörige C x 3 , 

 als Ort für die anderen 3 Paare bleibt somit eine C[ 6 mit Doppelpunkten in den g. 



Wenn z. B. ein Strahl von y x die r noch in y 2 , y 3 , y t trifft, so hat die Curve C 2 6 , 

 welche zu y 2 gehört, mit C x 6 auf y x y„ die beiden Paare gemein, die von C 3 3 , C' 4 3 ausge- 

 schnitten werden, und ausserdem keine gemeinschaftlichen Punkte. Wenn daher y 2 unendlich 

 nahe bei y x angenommen wird, d. h. unter y 3 y 4 die Schnittpunkte einer Tangente der r 

 in /j, mit der Curve verstanden werden, so ist der Ort der Paare, die von C 3 3 , C 4 3 auf 

 dieser Tangente ausgeschnitten werden, zugleich die Enveloppe der zu den Punkten von r 

 gehörigen C 6 . Wir werden unten (10 c) finden, dass diese Enveloppe eine Curve 24. Ordnung 

 mit Sfachen Punkten in den g ist (C 8 24 ). 



Auf einer Tangente T der r (in y x ) ist aber das Paar hervorzuheben, welches auf 

 C x 3 liegt. Dasselbe vertritt auf T zwei vereinigte Paare, und liegt demnach auch auf C] 6 . 

 Der Ort dieses Doppelpaares ist ein Theil der Jacobischen Curve des Netzes C 9 , und 

 zwar eine hyperelliptische C 15 , welche die g zu 5fachen, y zum 3fachen Punkte hat. 



Beweis. Zunächst ist klar, dass die C 9 , welche den Punkten von T entsprechen, diese 

 Gerade in den Punkten des von C x 3 ausgeschnittenen Doppelpaares berühren d. h. Tzur Doppel- 

 tangente haben. Eine dieser C 9 hat in diesem Paare zwei Doppelpunkte, nämlich die dem 

 Berührungspunkte y l von T, r zugehörige in C\ 3 , C x s zerfallende C 9 . Wenn umgekehrt zwei 

 C 9 sich in a berühren, so müssen sie dies auch in «, und in beiden Punkten die Gerade aa, 

 es wird dann aa auch Tangente der r sein, und das Paar «, a wird ausgeschnitten von der 

 dem Berührungspunkte auf r entsprechenden C 3 . Diese Schlüsse gelten jedoch nur, wenn « 

 nicht mit a coincidirt; der Fall der Coincidenz «, a wird besonders erörtert werden. 



Um nun noch die Ordnung des Ortes der Doppelpaare zu finden, sei A eine willkühr- 

 liche Gerade. Von einem Punkte « derselben lassen sich an r 6 Tangenten legen, die in y x ...y 6 

 berühren mögen. Zu diesen Punkten gehören C L 3 , . . . C 6 3 , welche A in 18 Punkten b schneiden, 

 jedem b ist ein a zugeordnet. Mithin sind 19 Coincidenzen vorhanden, von welchen 4, die 

 Schnittpunkte der A mit -T, auszuscheiden wären ; bleiben 15. Zieht man A durch g h so liefert 

 die analoge Betrachtung nur noch 10 Coincidenzen, und wenn A durch y geht, ergeben sich 

 deren 12 ; so dass gi für 5, y für 3 Schnittpunkte der Geraden mit dem Orte C lb zählt. 



Es ist leicht einzusehen, dass die Punkte der r die einzigen sind, deren C 9 in eine 

 C 3 und C 6 zerfallen; man kann weiter gehen und sagen, dass wenn eine C 9 einen Punkt a 

 der Ebene, der nicht mit seinem homologen zusammenfällt, zum Doppelpunkt haben soll, sie 

 nothwendig in dieser Weise zerfällt. Weil nämlich die C 9 , insofern sie a enthält, durch a gehen 

 muss, so hat die durch a, a gehende Q 3 mindestens 28 Schnittpunkte auf ihr und ist deshalb 

 ein Bestandtheil der C 9 . Die jetzt noch erforderliche C 6 muss durch a, also auch durch a 

 gehen, und von den auf a a liegenden Paaren sind in der That zwei in «, a vereinigt, daher 

 berührt aa die F, in yi, zu welchem Punkte die Q s gehört. 



