durch a gehende Q 3 der Punkt y, auf o a fällt. Nun liegen auf jedem Strahl o a 4 Punkte y h 

 und die zugehörigen Q 3 schneiden A noch in 12 Punkten b, von denen im Allgemeinen 

 keiner mit a coincidirt. Einem solchen b entspricht nur ein einziger «, somit existiren 13 

 Coincidenzen, unter welchen sich auch die 4 auf A liegenden y { befinden; bleiben übrig 9, 

 und das ist die Ordnung des gesuchten Ortes. 



Geht A durch einen der Punkte g, so ergeben sich nur 6 Coincidenzen, mithin ist 

 jeder g ein 3facher Punkt der C 9 . Wenn A durch y gelegt wird, so treten 8 Coincidenzen 

 auf, und C 9 enthält y als einfachen Punkt. Sie berührt ferner die Gerade oy in y; denn die 

 4 auf oy liegenden Paare werden ausgeschnitten von der in y die oy berührenden C 3 , und 

 von den drei C 3 , welche in y einen Wendepunkt haben. Endlich geht die C 9 auch durch o, 

 und berührt hier die Gerade, auf welcher sich der mit o gepaarte Punkt befindet. 



Sei a ein variabler Punkt einer Geraden A, alsdann umhüllt aa eine 

 Curve 9. Klasse A s : Denn die zu irgend einem Punkte o gehörige C 9 schneidet A in den 

 9 Punkten a, für welche die Geraden aa durch o gehen. 



Diese Enveloppe ist 6. Klasse A 6 für eine A durch g, 8. Klasse A s für eine durch y 

 gehende A. A 9 berührt A in den 8 auf A liegenden gepaarten Punkten, hat also A zur 

 Sfachen Tangente. 



Auf einer einfachen Tangente acc kommen ausser a, a noch 3 Punktepaare vor: Der 

 Gesammtort dieser 7 Punkte bei variablem a ist von der 80. Ordnung. 



Denn einer Geraden B entspricht eine B 9 , die mit ^4 9 81 gemeinschaftliche Tangenten 

 hat, wovon eine, die dem Schnittpunkte AB angehört, nicht zu rechnen ist. Demnach hat B 

 mit dem fraglichen Orte 80 Punkte gemein. Geht aber B durch g, so ergeben sich nur 

 6.9 — 1 Schnittpunkte, daher ist jeder g ein 80 — 53 = 27facher Punkt der Ortes; geht B 

 durch y, so ergeben sich 8-9 — 1 = 71 Schnittpunkte, also ist y ein 9facher Punkt. Wir 

 werden später (10 c) sehen, dass dieser Ort zerfällt in eine Curve 17. und eine 63. Ordnung. 



9. Die zu allen Punkten o der Ebene gehörigen C 9 sind hyperellip- 

 tisch und constituiren ein Netz. 



Diese C 9 haben, wie wir sahen, die g zu Sfachen, y zum einfachen Punkt, sind folglich 

 hyperelliptisch und nur specielle Curven dieser Art. 



Geht eine C 9 durch einen Punkt ee, so muss sie auch a enthalten, und es muss der 

 Punkt o, zu welchem sie gehört, auf der Geraden aa sein. Umgekehrt aber gehört auch zu 

 jedem o auf aa eine C 9 , welche a, a und die 3 andern auf aa befindlichen Paare ausschneidet, 

 und diese sämmtlichen C 9 haben ausser den 8 Punkten jener Paare keinen gemeinschaftlichen 

 Punkt, weil auf die g und y 8 . 9 -\~ 1 = 73 gemeinsame Punkte kommen. Die durch a ge- 

 henden 6 9 bilden somit einen Büschel, und zu den Punkten o einer Geraden gehören die C 9 

 eines Büschels, dessen einfache Grundpunkte in den 4 auf dieser Geraden liegenden Paaren 

 gegeben sind. Durch zwei Punkte «, b ist eine dieser C 9 bestimmt. Liegt b auf aa, so ist es 

 die zu b als o genommen gehörige C 9 . Liegt b nicht auf aa und ist mit ß gepaart, so ist es 

 die zum Schnittpunkte o von aa, bß gehörige C 9 . 



Es ist zu beachten, dass zwei C 9 , die sich in a schneiden, ihre übrigen Schnitt- 

 punkte auf aa haben. Also können sie sich in a nur so berühren, dass aa ihre gemeinschaftliche 



