haben. Dann aber muss sie auch zerfallen, denn ist a irgend einer ihrer Punkte, so hat die 

 durch a gehende C 3 19 Schnittpunkte mit ihr gemein, ist demnach ein Bestandteil derselben. 



5. Eine Curve 9 ter Ordnung C 9 , welche die g zu 3fachen Punkten hat, und den Punkt 

 y enthält, ist hyperelliptisch, und kann durch den Büschel (O 3 ) mit einem projectivischen 

 Büschel (C 6 ) erzeugt werden. 



Hier ist zu zeigen, dass eine durch a gehende C* auch « enthalten muss. 



Die durch a gehende C; 3 werde von C* noch in x geschnitten, dann wird x mit « 

 einerlei sein, wenn erwiesen wird, dass Q* von einer durch a gelegten CJ in x geschnitten wird : 



In den acht g, y, a, x liegen 27 Schnittpunkte von C 9 mit C? vor. CJ bildet mit 

 rgend einer von Q 3 verschiedenen C 3 eine C\ welche von diesen Schnittpunkten 26 enthält, 

 somit muss der 27., d. h. x auf C 6 liegen. 



6. Indem man die sich selbst entsprechenden C 9 ebenso benutzt, wie in vorigem die C 6 , 

 findet man, dass eine C 12 , die zu 4fachen Punkten die g, zum Doppelpunkt y hat, in der Ver- 

 wandtschaft (au) eine sich selbst entsprechende Curve ist, und sodann durch eine auf der 

 Hand liegende Induktion den Satz: 



7. Eine C 3n , welche die g zu «fachen Punkten, y als n — 2fachen Punkt 

 hat, entspricht sich selbst in (au). Sie ist hyperelliptisch und kann (wofern 

 «>2) durch den Büschel (C 3 ) in Verbindung mit irgend einem projectivi- 

 schen adjungirter C 3 ' 1 — 3 erzeugt werden. 



Was den zweiten Theil der Behauptung betrifft, so genügt es zu bemerken, dass von 

 einer C 3 " - 3 die ohnehin der C 3n adjungirt ist, noch 2n — 3 einfache Punkte, von denen keine 

 zwei in (« «) sich entsprechen, willkürlich sind. Nimmt man daher 2« — 4 derselben o a , « 2 ... 

 auf C 3 " an, so haben die C 3 "- 3 noch ebensoviele a l: a„ ... mit C 3 " gemein. Die durch die 

 An — 8 Punkte gehenden C 3n ~ 3 haben ausserdem keinen gemeinschaftlichen Punkt: 8(n — l) 2 

 -\-(n — 3) 2 -j- 4?i — 8 = 9(ra — l) 2 ; sie bilden mithin einen Büschel, von welchem jede Curve 

 noch ein variables Punktpaar a, a aus C 3 " schneidet, durch welches auch eine C 3 geht. 



Das Geschlecht der C 3 ' 1 ist: 



(3n.— Í) '(3n — 2) 8n(n — 1) (n — 2)(n — 3) 



P = - y— "^2 - — y L = 2n — 2, 



und die Anzahl willkürlicher Punkte einer C 3 " : 



9«(»-f 1) 8n(w-fl) (n— l)(w— ■ 2) _ 



2 2 2 -n 1. 



8. Um zu einem Punkte « den ihm entsprechenden a zu finden, verfahre man stets so : 

 Auf der durch a gehenden Q 3 ermittele man den Tangentialpunkt y { von y und schneide die 

 Q 3 mit der Geraden y; a in a. Hieraus folgt sofort, dass auf jeder Geraden G der Ebene 

 4 Paare a, a liegen; denn G schneidet die r in 4 Punkten y i y„ y 3 y 4 ; die zugehörigen 

 Cy 3 C 2 3 C 3 3 C 4 3 schneiden G in diesen Punktepaaren. "Wenn nun die Gerade G einen 

 Strahlenbüschel (o) beschreibt, was ist der Ort der 4 Punktepaare, die in 

 jeder Lage auf ihr sind? 



A sei eine beliebige, nicht durch o gehende Gerade. Damit irgend ein Punkt a von A 

 seinen entsprechenden a auf den Strahl oa habe, ist nöthig und hinreichend, dass für die 



