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oder nehmen wir eine beliebige Combination dieser Gleichungen, worunter sich der 

 Symmetrie wegen empfiehlt: 



1 fd»(r;,) d»(r;,) «Pfr?,)) ■ / 1 1 1 \ 



^ ' 2 | mjáí 2 m 2 dí 2 ' m 3 dt* j '»V'23 "Vn w V"i2/ 



-/• 



Diese Gleichung ist mit Benützung eines Integrals der 3 ersten Gleichungen (I) 

 (II), (III) abgeleitet: 



2 3 W V31 m 3 r l2l 



(A) (< £+ <L + ^]- 9n l-L 



= /• 



Wir haben nun 7 Differentialgleichungen (I) — (VII), welche jedoch 8 Integrationen 

 erfordern, da die Gleichung (VII) zweiter Ordnung ist. Dagegen ist ein Integral, nämlich (A),- 

 bekannnt, und sind daher nur noch 7 Integrale zu bestimmen. 



Bei diesem Arrangement dürfte es kaum möglich sein, in den Fehler Hesse's zu 

 verfallen, welcher (Crelle's Journal, Bd. LXXIV) ohne Benützung der Gleichung (VI) zum 

 Ziele gelangen wollte. Auch sieht man klar, dass es nicht möglich ist, die Anzahl der 

 erforderlichen Integrationen noch mehr herabzudrücken.*) 



II. 



Wenn es nun auch nahe liegt zu vermuthen, dass eine ähnliche Vereinfachung, 

 nämlich so zu sagen die Elimination einer Integration, auch beim Problem beliebig vieler 

 Körper möglich sein wird, so zeigt sich doch schon bei der Untersuchung des Vierkörper- 

 problems, zu welcher wir jetzt schreiten wollen, dass die Analogie mit dem Dreikörper- 

 problem keine so vollständige ist, wie man zunächst voraussetzen dürfte. Doch lassen sich 

 bei jenem Problem die aus der grösseren Zahl der Körper erwachsenden Schwierigkeiten 

 noch beherrschen. 



Seien: m u m 2 , m 3 , m t die v^er gegenseitig gravierenden Massenpunkte und x u y x , 



*) Auf den ersten Blick könnte man versucht sein, eine weitere Vereinfachung in folgender Richtung 



anzustreben. Differenzirt man die Gleichungen (V) oder (VI), so enthält das Resultat -j- und die 



zweiten Differentialquotienten von ;-, 3 , r 3l , r l2 , welche Grössen man mittelst (IV), (VILJ, (VII 2 ), (VILj 

 wegschaffen kann, wodurch man scheinbar zu einer Differentialgleichung erster Ordnung gelangt, 

 welche wir mit (VIII) bezeichnen wollen. Eliminirt man mittelst (V) und (VI) p aus allen Glei- 

 chungen, so hätte man dann zwischen den sechs Grössen r und u sechs Differentialgleichungen (I), 

 (II), (III), (V) oder (VI) nach Elimination von q, (VII) und (VIII), von denen wieder nur die (VII) 

 zweiter Ordnung wäre. Mit Berücksichtigung des Integrals (A) wären also nur s e ch s Integrati- 

 onen erforderlich. 



Man sieht a priori, dass dies nicht möglich ist ; denn mit Rücksicht auf die zehn allgemeinen 

 Integrale und auf das eine Integral, welches zur völligen Lagenbestimmung noch nothwendig 

 ist, hätte man da nur 17 Integrale und Integrationsconstanten. A posteriori überzeugt man sich leicht, 

 dass die Gleichung (V), in der erwähnten Weise behandelt, nichts anderes gibt, als die Gleichung (A) 

 mit einem Faktor multiplicirt. Schwieriger dürfte bei der Gleichung (VI) der direkte Nachweis zu 

 liefern sein, dass sie zu keinem unabhängigen Resultat führt. 



