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Wir haben also in der That 13 Gleichungen (I), (II), (III), (I'), (Bf), (HT), (IV), (?) 

 (VI), (VII), (VIHi), (VIIIo), (VIIIj) zwischen den unbekannten Functionen der Zeit: 



»'23: r 3n f i2i r i4: r 24 1 ''34 ; «23 1 M 3i: M i2i M i4 1 M 24 1 M 345 ď i ( oder ein anderes <t oder q). 



Von diesen Gleichungen ist die (VII) zweiter Ordnung, alle übrigen erster Ordnung; 

 von den erforderlichen 14 Integralen liegt ein Integral (A) vor, so dass 13 Integrale noch 

 zu suchen sind. 



Selbstverständlich könnte man dem Resultate auch die Form geben, wo in den Glei- 

 chungen bloss die r vorkommen würden, also jene Form, welche dem Dreikörper-Problem von 

 Lagrange gegeben worden ist. Die scheinbar 7, in Wirklichkeit bloss 6 Gleichungen (VI), 

 die Gleichung (V) und das Integral (Ä) erlauben uns, von den neun Grössen: 



M 23 ) M 31 ) M 12 l M I4 1 M 24 1 M 34 1 °l 1 5 !l G 3 



acht als Functionen der r, -=- und der übrigbleibenden neunten Grösse auszudrücken. Man 



substituire nun die so gefundenen Grössen u in die 6 Gleichungen (VILJ .... (VII 6 ), und 

 eliminire die letzte noch übrig gebliebene Grösse u oder g aus diesen Gleichungen, was 

 5 Gleichungen zweiter Ordnung gibt, welche bloss die r enthalten. Ausserdem muss man 

 jedoch eine von den Gleichungen (VII) differenciren, und aus dem Resultate, sei es eine 



Grösse-^- miitelst (I), (II), (III), (P), (II') oder (IIP), sei es eine Grösse -r- mittelst einer 



der Gleichungen (IV) eliminiren. So erhält man eine sechste Gleichung dritter Ordnung, 

 die ebenfalls nur die r enthält. Das so gefundene Gleichungssystem erfordert natürlich 

 ebenfalls 5X2 + 3 = 13 Integrationen. 



IV. 



Es bleibt noch übrig, die Untersuchung in Bezug auf das Gleichungssystem (VIII) 



zu Ende zu führen. Man könnte etwa die Gleichungen (VI,), (VLJ, (VI 3 ) nach e,, tr 2 , <? 3 



auflösen, und diese Werthe in die Gleichungen (VP)— (VP 4 ) substituiren, nachdem man die 



p mittelst (12) durch die <s ersetzt hätte. Dies würde vier Relationen zwischen den Grössen 



clr 

 *"' ~Ät' 1 u S e ^ en ; nun l RSS t s i CÜ a her, wie schon bemerkt, zeigen, dass zwischen denselben 



nothwendig drei, aber auch nicht mehr als drei Relationen bestehen.*) 



Zu diesem Zwecke stellen wir folgende Überlegung an. Denken wir uns die der 

 Grösse nach willkürlichen Vektoren**) 



'34 



*) Die Relationen, von denen hier die Rede ist, sind von der Gravitationsbeziehung zwischen den 

 Massenpunkten ganz unabhängig, mit anderen Worten nicht mechanisch, sondern rein geo- 

 metrisch wie die Gleichungen (VI) selbst. 

 **) Die Buchstaben selbst bedeuten die Längen (Tensoren) ; die horizontalen Striche über denselben 

 sollen andeuten, dass hier geometrische Grössen (Vektoren) vorliegen. 



