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Denken wir uns die r und r' gegeben; dann ist die Form der beiden sphärischen 

 Vierseite bestimmt und nur noch ihre gegenseitige Lage willkürlich. Sind nun weiter von den 

 u drei, etwa i% 3 , w 31 , ?< 12 gegeben, so sind damit auch die Bogen P 23 P' 2i , P31P3U P\iP\i 

 bestimmt, dadurch aber auch die Lage des Kreises K\ gegen den Kreis K t festgelegt, somit auch 

 die Lage beider Vierseite gegeneinander. Die übrigen Entfernungen entsprechender Ecken P 14 P'i 4 , 

 A 4-^*24' ^3 4 ^"3 4 j somit auch die entsprechenden Grössen w 14 , w 24 , w 34 sind nicht mehr frei 

 wählbar, sondern durch die gegebenen 15 Grössen bestimmt. Und zwar lässt sich unsere Aufgabe, 

 die noth wendigen Bedingungsgleichungen aufzusuchen, auf das folgende Problem reduciren: 



Zwei sphärische Vierseite sind der Form nach gegeben; wir kennen 

 die Abstände dreier entsprechender Ecken und suchen die gegenseitige 

 Lage der Vierseite, namentlich die Abstände der übrigen Ecken. 



Es seien m, n, p, q die vier Indices 1, 2, 3, 4 in beliebiger Anordnung; wir be- 

 zeichnen dann den Bogen P mq P qn mit a OTK , und den Winkel bei P pi , welcher im sphaerischen 

 Dreieck P mq P nq P pq jenem Bogen gegenüber liegt, mit a pq . Die entsprechenden Seiten und 

 Winkel der durch die zweite Lage des Tetraeders bedingten Dreiecke bezeichnen wir mit 

 a'mn, «'» 9 . So sind im Dreieck P li P„ i P 3i die Seiten der Reihe nach: a 23 , « 31 , a, 2 und die 

 gegenüberliegenden Winkel : k 14 , a 24 , a 34 . Die unendlich kleinen, an den Durchschnittspunkten 

 der Kreise K X K\, K 2 K\, K 3 K' 3 , i? 4 Z' 4 befindlichen Winkel bezeichnen wir mit x^t, x 2 dt, 

 x 3 dt, x^dt, die Abstände eines solchen Punktes K m K' m von P pi mit <p m „, die Abstände des- 

 selben Punktes von P' m mit <p„„, die Abstände desselben Punktes von P' vq mit <p mn -f- i> mn dt. 

 Endlich heisse der Winkel P' pq P pq P qn ß mn , und der Winkel P' pq P pq P qm ß nm , so dass 

 ßmn -f- ßnm = «pq • So ist z. B. <p 12 der Bogen vom Durchschnittspunkte K X K\ bis P 34 , 

 9i2 -f-^i2^ r der Bogen von demselben Punkte bis P 34 ; /3 r2 der Winkel P' 34 P., 4 P 24 , /3 2 , der 

 Winkel P' 3i P 3i P li und /3 13 -j— /3 21 = a 34 . 



Betrachten wir nun etwa die Dreiecke Q,P 34 P' 34 , QiP 42 Q 42 und Q,iP i3 P' i3 - Wir finden: 



(*Í, + x\ sin* <p l2 y dt* = (P 34 P' 34 ) 2 . 



Pmn P'mn kann man aus dem Dreiecke berechnen, welches aus r mn , r'„ m und u mn dt gebildet ist. 

 Es ist nämlich: 



„2 ,7*2 ,7 r 2 



\-Ljnn 1 mn) 2 ■ 



'MiM 



Wir erhalten daher folgendes Gleichungssystem: 



r l2 + x\ sin* 9l2 = — £«; f - |-!>«J J - S ; 4 , 



(22) *;,4?»: •*•>!,■ =^{«1, -(%-)'}+««> 



Setzen wir weiter: 



SPl2 + 9 13 + 9>14 = 3<jPl , t i2 + *13 + #U = 3 ^l ) 



