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bei anderer Anordnung das Gleichungssystem : 



il>\ 3 — 2^ 2 3^3 2 cos or l4 -4- il>; 2 = s; 4 sin' 1 « 14 , 



Hi — ^n^n cos «24 + ^3 — S 'U sin 2 « 24 , 

 i>l 2 — 2i/> 13 </> 21 cos « 34 + ipl, = slt sin 2 « 34 , 



tU 2TÍ»,.itř 41 COS ajj -j-^, = S" 4 Sin 2 «23 , 



#24 — 2^.4^42 COS «31 + *!, = «L Si ' w2 K 31 , 



#34 — 2íř» 34 ^ 43 cos a 12 -j- # 4 , = sj, sm 2 cc 12 . 



Es sind dies sechs Gleichungen zwischen den ^i, il> 2 , ip 3 , il> t , in denen die cos a mn 



nnd sina mn als gegeben zu betrachten sind (als Functionen der r). Mit irgend einer der 



Gleichungen (24) combinirt, geben sie nach Elimination der Grössen ■$ 1 , ip 2 , ip 3 , i\> i drei 



dr 

 Relationen zwischen den u, den -j- und den u, welche nichts anderes sind, als das gesuchte 



Gleichungssystem (VIII). 



Es kann aber auch irgend eine Combination der Gleichungen (24) und (25) benutzt 

 werden, sofern sie zu drei derartigen Relationen führt. Man sieht, dass je zwei Gleichungen 

 (24) mit je einer Gleichung (25) zu einer solchen Relation führt, F z. B. die 2. und 3. Glei- 

 chung (24) mit der 1. Gleichung (25) combinirt, welcher man die Form geben kann: 



*;-h*i+-^i fcfc + P& + Q 1 4> 3 +R l =o. 



Von diesen (im Ganzen sechs) Combinationen reichen drei, z. B. die der ersten 

 drei Gleichungen (24) und der ersten drei Gleichungen (25) hin, um das System (VIII) 

 darzustellen. Die ersten drei Gleichungen (24) beziehen sich auf das durch die Kreise Ä',, ÜT 2 , K 3 

 gebildete Dreieck und es könnte scheinen, als ob bei dieser Ableitung des Systems (VIII) 

 der Kreis isT 4 nicht zur Geltung käme. Das ist jedoch nicht der Fall ; denn die Ableitung der 

 Gleichungen (25) ist gleichbedeutend mit der Festlegung der entsprechenden Kreise K' gegen 

 K: dazu werden bei den Kreisen K x , K 2 , K 3 die Abstände der Durchschnittspunkte dieser 

 Kreise mit ÜT 4 von den Durchschnittspunkten der Kreise K\, Ji' 2 , K' 3 mit K' ^ benützt, die 

 Kreise -ST 4 und ü? 4 kommen also wohl zur Geltung. 



Von der wirklichen Aufstellung der Gleichungen (VIII) mag Umgang genommen 

 werden, da eine praktische Verwendung der hier gewonnenen Resultate in sehr weiter 

 Ferne liegt. Vielleicht dürfte sie ehestens noch in der Richtung einer durch Specialisirung 

 gewonnenen Anwendung auf das Dreikörperproblem (wobei natürlich nicht bloss an die be- 

 deutungslosen Fälle rn 4 = 0, oder r 3i = zu denken wäre) zu suchen sein. 



Es bliebe noch übrig zu zeigen , wie nach der Lösung des reducirten Problems 

 das allgemeinere gelöst, d. h. die noch fehlende eine Integration zu bewerkstelligen wäre. 

 Darin weicht jedoch das Vierkörper-Problem vom Dreikörper-Problem nicht ab; ist die Lage 

 des Dreieckes m l m t m 3 bestimmt, so ist auch die Lage des Tetraeders m i m i m 3 m i bestimmt. 

 Erstere Aufgabe ist von Lag ränge gelöst worden, und seiner Lösung auch in dem vor- 

 liegenden Falle nichts hinzuzufügen. 



