Existirte nämlich eine hyperelliptische C mit den Doppelpuncten g t . . . g iU und wäre 

 a a ein Punctepaar derselben, so müssten alle durch g v . . . g lt , a gehende C 4 auch a ent- 

 halten, und es wären g l ...g lx -: «, « dreizehn Grundpuncte eines Netzes. Soll aber durch 

 diese 13 Puncte mehr als ein Büschel von G 4 gehen, so ist nothwendig, dass die noch fehlen- 

 den 3 Schnittpuncte u, v, w irgend zweier hindurch gelegter C 4 in einer Geraden sind. Wäre 

 ein solches Tripel bekannt, so wäre damit auch das Paar a, a bestimmt, denn zwei C 4 durch 

 9i---9n w > v i w werden sich in dem Punctepaare a, u schneiden: 



Auf einer willkührlichen Geraden A nehme man 2 feste Puncte / 1: f 2 an und einen 

 dritten Punct «j ; dann schneiden Büschel von C 4 , welche bezielich (s , 1 ...# 11 , A, «Ji 

 (9i'--9n /21 M i) zu Grundpuncten haben, aus A zwei quadratische Involutionen, die ein 

 Paar v ] w x gemein haben; mithin liegt in % v Y w r ein Tripel vor, und die beiden dasselbe 

 ausschneidende Curven haben noch 2 Puncte « n a, gemein, welche die Rollen von g 12 , g l3 

 übernehmen können. Dass u v v x iv 1 allein duch u y bestimmt ist, erhellt daraus, dass, seine 

 Existenz vorausgesetzt, offenbar / l5 f 2 , zwei beliebige Puncte von A sein können. 



Jeder andere Punct u 2 von A gehört daher einem Tripel u 2 v 2 to 2 an, und liefert ein 

 Paar a 2 u 2 . Die Curven durch f lt welche diese beiden Tripel ausschneiden haben noch 

 4 Puncte Q t gemein; die durch f 2 und diese Tripel gehenden Curven noch 4 Puncte Q 2 . 

 Man erhält daher 2 Büschel mit den Grundpuncten {g^. . .j tl , f x , QJ, (g t . . .g ix , f 2 , 2 ), 

 welche auf A dieselbe cubische Involution uvw bestimmen. Bezieht man diese Büschel so auf 

 einander-, dass Curven, die das eämmliche Tripel ausschneiden, sich entsprechen, so erzeugen 

 sie die Gerade A und eine C 7 , welche g L . . .g tl zu Doppelpuncten bat. Sie ist der Ort der Paare 

 a, a oder g l2 , g 13 , die mit g l . . ' . g tl als Grundpuncte zu speciellen Netzen dienen könnten. Sie 

 ist auch die einzige hyperelliptische C 4 vom Geschlechte 4 mit den Doppelpuncten g i ...g li . 



4. Die hyperelliptische C mit elf Doppelpuncten gy.-g xl . Auf C sind 

 2 . 4 -4- 2 = 10 Cioncidenzen von sich entsprechenden Puncten a, a. Verbindet man einen 

 irgendwo angenommenen Punct mit a und a, so erhält man eine Correspondenz 1, 7 der 

 Strahlen 0«, occ, worin 14"Cvincidenzen sind. Nach Abrechnung der 10 für die Coincidenzpuncte 

 auf C bleiben 4. Wenn aber auf einem Strahl von ein getrenntes Paar aa liegt, so sind 

 in ihm zwei dieser Coincidenzen vereinigt, so dass die Enveloppe aa eine Curve 2ter Classe 

 JE 2 , die associirte Curve der C ist. 



Von einem Puncte g 12 , ausserhalb C" ziehe man an E 2 die Tangenten, und nenne a Y a 1; 

 a 2 a 2 die Paare auf denselben. Man hat jetzt 2 specielle Netze I, II respective mit den 

 Grundpuncten (#, . . • g^, a u a t ), (g 1 ...gi i , a 2 , a 2 ), und es ist der Büschel von C* in I, 

 welcher a„ als Grundpunct hat, identisch mit dem in II durch a x bestimmten Büschel. Das 

 Tripel dieses Büschels, insofern er I angehört, besteht aus a 2 a 2 und einem dritten auf a 2 a 2 

 liegenden Puncte, dem 16ten Grundpuncte ausser g t ... g lx a u a L , a 2 , « 2 . Insofern dieser 

 Büschel im Netze II ist, muss dieser 16te Punct auch mit a L u x in einer Geraden liegen, er 

 ist also g [2 . Oder: «jo^, a 2 a 2 repräsentiren 2 = p — 2 beliebige Paare der C"; also geht 

 durch sie ein Büschel B adjungirter C 4 . Ist C\ eine dieser Curven, so haben die 13 Puncte 

 9i • • • 9, 1 «1 «1 eine solche Lage, dass durch sie noch ocr 6 4 gehen, daher muss durch die 

 fernem 3 Schnittpuncte einer dieser C* mit C\ eine Curve 4 — 3ter Ordnung, d. i. eine Gerade 

 gehen. Eine durch a 2 a 2 gehende C\ dieses oo 2 C 4 schneidet mithin die C* in einem auf der 



