Geraden a 2 a 2 befindlichen Puncte. In gleicher Weise zeigt sich, indem man die C{ als durch 

 9\ ■ ■ -'9ií c h u 2 gelegt ansieht, dass die gedachte Q die C{ auf der Geraden a l a i schneiden 

 muss; folglich ist der Schnittpunct von a l a l , a 2 a 2 der 16te Grundpunct des B, Dieser Büschel 

 sei mit (C l ) 1 bezeichnet. 



Bildet man daher ein Netz mit den 12 Grundpuncten g x . . . g 12 , soliegt in den Paaren 

 a l a l , a 2 a 2 ein Quadrupel Q i desselben vor. Jedes Paar au wird durch ein anderes bß (das 

 nicht auf C liegt) zu einem Quadrupel Q ergänzt: 



„Der Ort dieser ergänzenden Paare bß ist eine C s mit 3 fachem Punct 

 in g 12 , und es liegendie Paare bß auf den Strahlen des Büschels g 12 ." 



Beweis: g sei ein beliebiger Punct ; die durch ihn gehenden Tangenten der E 2 tragen 

 zwei Paare »j, #„, welche im Verein g y . . .g lx , g die 16 Grundpuncte eines Büschels (C 4 ) sind. 

 Mittels (C 4 )f und (C 4 ) kann man gleichzeitig die Paare der C 7 ausschneiden und so die C~ 

 erzeugen. Je zwei Curven haben ausser einem Paar der C~ noch 3 in einer unveränderlichen 

 Geraden liegende Puncte gemein, weil das Erzeugniss 8ter Ordnung sein muss; und diese 

 Gerade enthält die Grundpuncte g 12 , g, wodurch sie bestimmt ist. Auf dieser Geraden g 12 % 

 tritt demnach eine cubische Involution auf, durch deren Tripel je zwei sich im nämlichen 

 Paaj- von C schneidende Curven von (C 4 ) x und (C*) gehen. Wenn nun die durch g l2 gehende 

 C 4 von (C 4 ) das Paar aa enthält, und g 12 $ noch in b, ß schneidet, so muss die zugehörige C 4 

 von (C 4 ) 1 ebenfalls durch aa und bß gehen, zugleich aber in g 12 die Gerade g§ berühren. 



Weil durch aa, bß zwei Curven des Netzes (g t . . . g 12 ) gehen, so bilden diese 4 Puncte 

 ein Quadrupel Q. Es ist klar, dass hiebei aa als ein willkührliches Paar von C vorausgesetzt 

 werden kann, weil der Punct g beliebig war oder unter jTj, % 2 irgend zwei Paare von C ge- 

 nommen werden können. Da aber der Büschel (C\ unverändert beibehalten wird, so findet 

 man die Puncte b, ß, die irgend ein Paar aa von C' zu einem Quadrupel Q des Netzes 

 (#1 • • -9\-i) ergänzen, indem man hie durch a, a gehende Curve von (C*) 1 mit ihrer Tangente 

 für den Punct g i2 schneidet, und folglich ist der Ort von bß eine C 5 , welche dreimal durch 

 g l2 , einmal durch jeden der 11 andern g geht. 



5. Das allgemeine Netz (g i . . . g 12 ). 



Wegen der oben gemachten Annahme von g 12 (ausserhalb C') kann in diesem Netze 

 kein Quadrupel existiren, von welchem 3 Puncte einer Geraden angehörten. Unter einem 

 Paar werden 2Pun et e eines Qua drupelsQver standen, unter dem ergänzenden 

 Paar die beiden andern Puncte von Q. Eine Curve, deren Puncte zu Quadru- 

 peln gehören, welche die Curve erfüllen, h e i s s t Q u a d r u p e 1 c u r v e, z. B. die C* 

 des Netzes und solche. Wenn, während gewisse Puncte eines variablen 

 Quadrupels Q auf einer Curve C bleiben, die andern Puncte von Q einen 

 Ort r durchlaufen, so heisst Tdie Ergänzung von C'und vice versa. Unter 

 Cy wird für n > 4 ein Ort n ler Ordnung verstanden, auf welchem die Puncte 

 g vfach sind; unter E n oder 6" eine Enveloppe n tev Classe. Die einer Quadr u- 

 pelcurveCassociirteEnveloppe-Ewird umhüllt von den Geraden, welche 

 de auf C befindlichen Paare tragen. 



Die Quadrupel einer bestimmten C* werden durch jeden Büschel des Netzes ausge- 

 schnitten: Dies gilt auch von der Q, die g i zum Doppelpuncte hat; die Quadrupel bestehen 



