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dann aus einem dem g, benachbarten Punct und oo 1 Tripel. Daher muss eine Quadrupel- 

 curve C, welche g y vmal enthält, C\ in v Tripeln schneiden, und umgekehrt, hat C mit C[ 

 v Tripel gemein, so geht sie vmal durch g x . 



a) Beschreibt ein Punct a eine Gerade A, so ist der Ort für die 3 Puncte «, welche 

 mit a ein Quadrupel bilden, eine Q 5 . 



Denn da A mit C\ vier Puncte gemein hat, so enthält die C 1 ^ vier Tripel von C* 

 und geht viermal durch </,. Eine beliebige C* schneidet sie ausser den 4fachen Puncten g 

 noch in 4 Tripeln a. Wenn demnach x die Ordnung der Curve ist, so hat man: 



4sc — 4 . 12 + 12 ; sc = 15. 



frj Ist C™ eine Quadrupelcurve, soistmdurch4theilbar,'undjeder<7ist 



— r fach er Punct von O. 



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Q sei die Netzcurve, die g t zum Doppelpuncte hat, und C m gehe a;, mal durch gr, 



-x 



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dann hat man durch die gemeinsamen Puncte von C m , C* : x l = Am — 2 . ox x — x 2 — 



und indem C m mit C* schneidet: x 2 = 4m — 2 . 3a; 2 — a? 1 — . . . — x 12 ; also a^ = as 2 , d. h. O 



geht ebenso vielmal durch g y wie durch g 2 , etc.; as bezeichne die Vielfachheit der g auf O": 



Dann muss die Cj 5 , welche mit einer Geraden A eine Quadrupelcurve bildet, mit C"> 

 ausserhalb der g genau 3m Puncte gemein haben: 



15m z= 4 . 12 . cc -\- 3m ; wi = 4x. 



Jede C^ n ist jedoch nicht Quadrupelcurve ; damit sie es sei, wird, wie wir zeigen werden, 

 genügen, dass auf ihr eine gewisse Minimalzahl unabhängiger Quadrupel sich befindet: 



Man kann in einfacher Weise dem Netze der C 4 die Geraden einer Ebene E ent- 

 sprechen lassen, so dass jedem Quadrupel Q ein Punct q und vice versa einem Puncte q von 

 E ein Quadrupel zugewiesen ist. Zu diesem Zwecke hat man nur zwei Strahlenbüschel (1) 

 (2) in E projectivisch auf zwei Büschel (C 4 ),, (C*) 2 also zu beziehen, dass der Strahl 1 2 der 

 gemeinschaftlichen Curve von (C\ (C*) 2 zugewiesen ist. Einer beliebigen O in E entspricht 

 dann eine Quadrupelcurve Q*, und da diese von jeder C 4 in n Quadrupeln geschnitten wird, 



so hat man 



16a? r= 12a? -j- An, x = n. 



Man sieht sofort, dass umgekehrt eine Quadrupelcurve C„ n einer C n in E entspricht. 



Demnach kann man durch — ' J~ willkührliche Quadrupel eine Quadrupelcurve 



Q M legen. Wenn nun eine G* n n Quadrupelcurve wird, wenn man sie durch z Quadrupel führt, 

 zwischen welchen keine Relationen bestehen, während sie es noch nicht zu sein braucht, wenn 

 sie durch 4z — 1 dieser Puncte geht, so unterwirft man dadurch, dass CS™ die z Quadrupel ent- 

 halten soll, die Curve genau Az willkührlichen Bedingungen. Soll sie aber dann noch irgend 

 ein Quadrupel Q aufnehmen, so genügt hiezu, dass sie durch irgend einen Punct von Q gelegt 

 werde, d. h. sie hat nur noch eine Bedingung zu erfüllen ; und man kann demnach C„ n noch durch 



4n(4«-f 31 1Q n(n—l) _ , . 



■ 12 — - — r- — Az = 2n- — Az 



2 2 



TL \11 — r— l ) 



im Ganzen duixh 2n- — 3z Quadrupel legen. Folglich 2?i 2 — 3z = — 9 — , woraus 

 n (n — 1) 



