Ferner ist jede Q", die ein Quadrupel Q l zu n — Hacken Puncten hat, Quadrupel- 

 curve, Denn eine C{ durch Q l wird von C£" noch in 4 Puncten p geschnitten, und jede G5 n 

 welche die Q x zu n — lfachen Puncten hat und einen der Puncte p enthält, niuss auch durch 

 die übrigen gehen. Nimmt man daher n — 1 der oo 1 C 4 heraus, welche Q L enthalten, so 

 machen diese mit einer nicht durch Q t aber durch einen der p gehenden C\ eine solche 

 Q" aus, mithin sind die 4p den C[, C\ gemeinsam und bilden ein Quadrupel. 



6. Zu einer beliebigen Geraden A gehören 3 Quadrupel, von welchen je ein Paar auf 

 A liegt. Denn 2 Büschel des Netzes schneiden aus A zwei biquadratische Involutionen, welche 

 3 gemeinschaftliche Paare besitzen. Durch diese 2.3 Puncte geht die C 1 /', welche mit A eine 

 Quadrupelcurve ausmacht; sie schneidet A noch in 9 andern Puncten s, wovon jeder zu 

 einem Quadrupel gehört, das zwei in s vereinigte Puncte besitzt. Also ist die Coincidenz- 

 curve 9 tor Ordnung J 9 . Geht A durch j„so zerfällt C\ r ' in C\ (mit dem Doppelpunct g x ) und 

 einer C 11 , die zweimal durchy, dreimal durch die andern g geht. Ausser den mit g, gepaarten 

 und auf C\ liegenden Puncten gibt es auf A noch ein Paar, welches die C 11 enthält, bleiben 

 sonach 11 — 4 Puncte s, Schnittpuncte von A und J 9 . J 9 hat mithin die g zu Doppelpuncten 

 und wird durch J\ bezeichnet. 



a) Die Enveloppe E 9 für eine Gerade A. Ein Punct a von A wird durch ein auf 

 C\ 7, liegendes Tripel von Puncten a zu einem Quadrupel ergänzt. Wie viele Verbindungslinien 

 aa gehen durch einen Punct o der Ebene ? Einem Strahl oa entsprechen drei oa ; da aber 

 der Geraden aa eine C\ s enstspricht, so ist oa fünfzehn verschiedenen Strahlen oa zuge- 

 ordnet. Somit ergeben sich 18 Coincidenzen, von denen 9 auf die Strahlen os kommen, 

 welcke nack den Scknittpuncten von A, J\ geken. Demnack wäre die Enveloppe der aa köch- 

 stens 9 ter Classe ; sie ist aber auck nickt niedriger, denn A wird von ihr in den 3 Paaren, die 

 auf A sind, berührt, und es gehen von jedem a ausser der 6fachen Tangente A noch 3 Tan- 

 genten aa an die Enveloppe. 



b) Mit dem Gesagten ist auch dargethan, dass der Ort der auf den Strahlen von o 

 befindlichen Paare eine C 9 ist, welche o zum 3fachen Punct hat, weil auf jedem Strahl nur 

 3 Paare sind. Gekt ferner A durch g u so ergeben sieb 3 + 11 — 7 = 7 Coincidenzen, die 

 zugekörige Enveloppe erkält die Classe 7, und C\ kat mitkin in g t einen Doppelpunct. Be- 

 rükrungspuncte von A mit dieser E 1 gibt es vier, nämlick das Paar auf A und die beiden 

 mit g x gepaarten Puncte der C\. 



Man sieht, dass die Paare auf einem Strakle von g Y zweierlei sind: Eines der Paare 

 kat zum Ort die C 5 , welcke die hyperelliptiscke C 7 mit den Doppelpuncten g., . . . g l2 ergänzt, 

 die beiden andern besteben aus g x selbst und je einem der Puncte, welcke A mit G\ gemein kat. 



c) Die assoeiirte Enveloppe einer Quadrupelcurve Ci' 1 ist eine E in . Denn die zu o 

 gekörige C\ sekneidet C* n in 36ra — 24w = 12n Puncten, welcke paarweise auf 6m Strahlen 

 von o liegen. So ist für C\\ welche aus einer Geraden A und der entsprechenden CJ 5 sich zu- 

 sammensetzt, die assoeiirte Enveloppe E 2i . Sie besteht mithin aus E* und einer E l \ welch letztere 

 umhüllt wird von der Geraden, die 2 Puncte « eines der oo 1 Tripel der C\ r ' verbinden. Und 

 hieraus erhellt sogleich, dass das Complement einer C\ mit einer Geraden A 15 Puncte ge- 

 mein hat, oder dass C\ Bestandtheil einer Quadrupelcurve C e 24 ist. Die assoeiirte Enveloppe 

 E 36 dieser Curve lässt sich so ermitteln : 



