Zum Puncte o l gehöre C 9 ', sie hat mit C\ die drei Paare der Geraden oo x gemein, ausser- 

 demnoch 81 — 48 — 6 = 27 Puncte; d. h. die Enveloppe der Geraden, welche ein Paar von C\ mit 

 dem ergänzenden Paare verbinden, ist E"\ Die Enveloppe der Geraden, welche dies ergänzende 

 Paar trägt, sei E x : Die 36 Tangenten durch o x an E 36 bestehen demnach aus der dreimal zu 

 zählenden Geraden o x o, aus 27 Tangenten der E 1 " 1 und der x den E*, weshalb x = 36 — 27 — 3 = 6. 

 7. Das Quadrupel, welches zu einem Puncte s auf J\ gehört, besteht aus einem dem s 

 benachbarten Puncte s' und aus zwei Puncten ff. Für wie viele Lagen von s fällt ein g auf 

 eine Gerade A. Wenn dies stattfindet, so gehört s der C\ r ' an, welche A ergänzt, und um- 

 gekehrt: Nun schneiden sich C\% J\ in 135 — 96 = 39 Puncten s, von welchen die auf A 

 liegenden 9 auszuschneiden sind; also J\ wird durch sich selbst und eine C 30 zu einer 

 Quadrupelcurve C\\ ergänzt. Der Ort der Paare ff ist somit C 30 . Hier sind drei Enveloppen 

 zu bestimmen : 



a) Die Enveloppe von ss', d. h. einer Geraden, die ein coincidirendes 

 Paar trägt, ist eine E 12 : (C A ) V sei ein Büschel im Netz, o ein beliebiger Punct. Durch o 

 ziehe man an die Curven von {C\ Tangenten, so ist der Ort der Berührungspuncte eine CJ, 

 auf welcher sich jede C* mit der cubischen Polare von o in Bezug auf diese schneidet. Diese 

 C{ hat nun mit J 9 gemein, erstens die 27 Puncte, welche für je eine der C 4 Doppelpuncte 

 sind, zweitens noch 12 Puncte s, und in jedem dieser s hat die hindurch gehende C* des 

 Büschels die Tangente so. Dann aber ist so au c h Tangente der gesuchten Enveloppe, und 

 es ist ihre Classe 12. 



b) Die Enveloppe der Verbindungslinien sg ist E 21 . Die zu o gehörige C\ 

 hat mit J\ ausser den eben gefundenen 12 Puncten s und den g noch 9.9 — 12.4 — 12 = 21 

 Puncte f gemein, wodurch die Classe der gesuchten Enveloppe bestimmt ist. 



c) DieEnveloppe derGeraden, die einPaar ff, g von C 8 30 tragen, ist E li 

 Die 21 unter b) gefundenen Puncte f sind mit eben so vielen g gepaart, welche der 



C\ und Cl° gemeinsam sind. Wie man leicht erkennt, berührt aber die C*, welche f zum 

 Doppelpuncte hat sowohl Cl wie auch C\ a in dem entsprechenden ff; somit rechnen diese ff 

 für 42 Schnittpuncte von C 2 9 , C 30 . Die noch fehlenden Schnittpuncte 9 . 30 — 12 . 16 — 42 = 36 

 sind gepaart auf C 30 und C\, ergeben mithin 18 Strahlen von o, die Tangenten der Enveloppe. 



Mit Hülfe dieser E ls lässt sich finden, wie vielmal auf Cl" eines der Paare ff, ff 

 coincidirt. Nämlich ein Strahl von o trifft die Curve in 30 Puncten ff, so dass diesem Strahl 

 30 andere og zugewiesen sind. Man hat also eine Correspondenz 1, 30, worin 60 Coineidenzen 

 sind. Von diesen fallen 36 auf die 18 Tangenten der E ls , bleiben 24. Es bezeichne ff eine 

 dieser Coineidenzen, dann ist ff ein Punct des J\ und wenn s der Punct ist, zu welchem 

 das eoineidirende Paar ff gehört, so muss auch s einer dieser 24 Puncte sein. Diese ver- 

 theilen sich somit auf 12 Paare s ff , und da das mit s g verbundene Paar diesem benachbart 

 ist, so berühren sich die C* des durch s , ff gehenden Büschels in s 5 , ff . Es existiren 

 hiernach im Netze 12 Büschel von sich doppelt berührenden Curven. 



8) Die sich osculirenden C 1 , und die C" mit einer Spitze. 



Sollen zwei C 4 sich in einem Puncte s, osculiren, so müssen sie in s l die J\ berühren, 

 und umgekehrt; wenn CJ, C\ in s, die J\ berühren, und s l weder für C\ noch C" 2 Doppel- 

 punet ist, so osculiren sich die Curven. Um letzteres einzusehen, betrachte man in dem durch 



