C 4 , Ct bestimmten Büschel die C 4 , welche s, zum Doppelpuncte hat: Da ihre Doppelpuncts- 

 tangenten durch die Tangente J\ und die mit ihr zusammenfallende Tangente der E 12 für den 

 Punct s harmonisch getrennt sind, so muss eine der Doppelpunctstangenten von C* in s l die 

 Jt berühren. Wenn man nun den vorliegenden Büschel mittels C\ u. C\ construirt denkt, so 

 ergibt sich die Behauptung. 



Um jetzt die Puncte s x auf J\ zu ermitteln, suche man in einem beliebigen Büschel 

 (C) die Curven, welche J\ berühren, ohne dass der Berührungspunct zugleich Doppelpunct 

 der betreffenden C* ist. In der vom Büschel ausgeschnittenen Schaar G\ 2 sind, da das Geschlecht 

 von J\ 16 ist, 22 -f- 32 = 54 Coincidenzen. Unter diesen rühren 27 von den C 4 her, die in 

 (C 4 ) mit einem Doppelpuncte behaftet sind, bleiben 27 Puncte s x . Weil nun jede C* des 

 Netzes, die durch einen der s x geht, in diesem Puncte J\ berühren wird, so erhält man stets 

 dieselben 27 Puncte, welchen Büschel des Netzes man zu ihrer Bestimmung auch wählen möge. 

 Ferner findet man mit Hülfe des Correspondenzformel 99C 4 , welche J\ osculiren; 

 27 dieser Curven osculiren in den s x und verhalten sich wie die eben angeführte C\ ; bleiben 

 72 Curven osculirend in andern Puncten s. Die in s osculirende C* hat nun nothwendig hier 

 einen Doppelpunct und ihre Doppelpuncts-Tangente fällt mit der Tangente t von J\ in s zu- 

 sammen. Da aber die Tangente der E 12 durch s verschieden ist von t, so muss auch die 2 te 

 Doppelpuncts-Tangente der C* mit t eoineidiren ; s ist sonach eine Spitze der C 4 . Macht man 

 anderseits die Voraussetzung, C 4 habe einen von den 27 s x verschiedenen Punct s zur Spitze, 

 so muss hier die Spitzentangente die J\ berühren ; denn wenn sie, was nach dem Satze über die 

 harmonische Trennung noch möglich wäre, mit der Tangente der E y2 zusammenfiele, so würden 

 sich die durch s gehenden C 4 osculiren, was nur für die s x stattfindet. Für ein Netz von C", 

 die durch d feste Puncte gehen, liefert unsere Betrachtung 3 (n — 1) (An — 5) — 6d Büschel 

 von einander osculirenden Curven, und 12 (n — 1) (n — 2) C" mit Spitzen. *) 



9. Die Doppelpaare, die C, 9 und die ihr assoeiirte Enveloppe (5 12 . 

 a) Wenn a x K u a„a 2 , a 3 a 3 die drei auf A liegenden Paare sind, so sendet der Büschel 

 (C 4 )j zu dessen Grundpuncten a x « x und das ergänzende Paar b^ gehört, von welch letzterem 

 kein Punct auf A sein kann, je eine Curve durch a 2 a 2 und a 3 a 3 . 



Wenn demnach einer der Puncte a 2 « 2 unendlich nahe bei a 3 oder u 3 liegt, so müssen 

 diese Paare zusammenfallen und ein Doppelpaar d, d bilden. Dann gibt es in dem durch d, d 

 gehenden Büschel (C 4 ) 2 eine C 4 , welche in d und ů die Gerade A berührt; und umgekehrt: 

 Denn jeder der Büschel (C 4 ) l5 (C 4 ) 2 schneidet aus A eine quadratische Involution, für welche 

 bei unserer Annahme dů das gemeinschaftliche Paar ist. Hiernach lässt sich die Classe der 

 Enveloppe einer Geraden bestimmen, die ein Doppelpaar trägt: Die zu einem beliebigen Puncte o 

 gehörige C\ hat die Classe 9.8 — 2.3 — 2. 12 = 42; von o gehen also an diese 42 — 6 = 36 Tan- 

 genten Zwölf derselben tragen ein eoineidirendes Paar der C 9 . Berührt nun eine der noch vorhan- 

 denen 24 Tangenten in d die C 9 , so muss sie auch in dem mit d gepaarten Puncte ď be- 

 rühren, und man hat in dd ein Doppelpaar auf einer Doppeltangente der C 9 . Mithin gehen 



*) Hiernach ist eine von Cremona gegebene Formel (Curtze'sche Uebersetzung der „Einleitung" etc. 

 pag. 270) zu corrigiren ! Die Unrichtigkeit des Cremona'schen Ausdrucks erkennt man sofort, wenn mau 

 in demselben n ■=. 4. ä rz o, x = o, k r= o setzt ; wo dann eine Curve (2) die Classe 12 und 75 

 Wendetangenten bekäme, was absurd ist. 



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