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durch o 12 Geraden, die je ein Doppelpaar tragen, und welche Doppeltangenten der C; 

 sind. Die gesuchte Enveloppe ist somit S 12 . Es kann vorkommen, dass C\ ein Paar d, ů zu 

 Doppelpuncten hat, wodurch ihre Classe um 4 Einheiten sich erniedrigt. Von o gehen dann 

 an ß 12 nur noch 10 Tangenten, woraus hervorgeht, dass o dann Berührungspunct der Enve- 

 loppe sein muss : Es seit dů ein Doppelpaar auf t, C 4 eine Netzcurve durch dd, welche nicht 

 in d die t berührt. Die ihr associirte E* berühre t im Puncte o L ; von jedem andern Puncte 

 o von t gehen noch 5 Tangenten an die E e ; die Paare der C*, welche auf diesen liegen, be- 

 finden sich auch auf der zu o gehörigen Cl, und es haben Cl, C 4 genau 6 Paare gemein. 

 Da nun jede Cl in d, ä die t berührt, so wird C* von Cl in d, d geschnitten, sofern o nicht 

 in Oj. angenommen wird. Geschieht dies aber, so berühren sich beide Curven in d, Ó ; daher 

 werden diese Doppelpuncte der Cl, und von o i gehen an Ě 12 nur noch 10 Tangenten. Zu- 

 gleich folgt noch, dass alle zu den durch d, á gehenden C" 4 associirten E 6 die t 

 im Puncte o l berühren müssen. 



h) Ort der Doppelpaare dd. Wie viel Puncte einer Geraden A gehören zu Doppel- 

 paaren? Haben a t a x , a^, a 3 cc 3 dieselbe Bedeutung wie unter a), so werden diese 6 Puncte 

 im Allgemeinen nicht zu Doppelpaaren gehören. Ist ein variabler Punct a von a mit a ge- 

 paart, oder ist aa Tangente der Enveloppe E 9 , so bestimme man den Ort der beiden noch 

 auf aa liegenden Paare: Ist A Y eine zweite Gerade, E\ die ihr zugewiesene Enveloppe, so 

 haben E*E\ 81 Tangenten gemein, unter denen 3 durch den Schnittpunct von AA i gehen; 

 bleiben 78 und man sieht, dass der Gesammtort der auf den Tangenten von E* liegenden 

 Paare besteht aus A und einem Orte 78. Ordnung. Ein Bestandtheil des letztern ist aber die 

 Curve C\\ welche a beschreibt. Mithin bleibt für den verlangten Ort eine C". Legt man 

 A x durch einen der g, wobei die entsprechende Enveloppe E\ wird, so ergibt sich, dass die 

 g auf dem Orte C\\ 14fach sind. 



Wenn nun die Curve C[\ ausser a l u l , a 2 K 2 , a 3 a 3 noch Puncte d mit A gemein hat, so 

 müssen diese zu Doppelpaaren gehören, und umgekehrt muss C\\ durch jeden Punct von A 

 gehen, der zu einem Doppelpaare gehört. Es ist aber klar, dass C\\ durch die a^a^u^a^ 

 geht, und um zu bestimmen, wie vielmal dies stattfindet, hat man nur A x durch einen dieser 

 6 Puncte, etwa durch a x zu legen. Zu diesem Falle wird A selbst gemeinschaftliche Tangente 

 der Enveloppen E\, E ä und rechnet für 6. Von den 81 gemeinschaftlichen Tangenten fallen 

 jetzt noch 2 durch a Y gehende aus, und weil die CJ 5 auch durch a l geht, noch 14 andere; 

 folglich wird A x von C{\ noch in 81 — 8 — 14 = 59 Puncten ausser % geschnitten. 



Die 3 Paare auf A sind hiernach je 4fach auf C\\ und es bleiben 63 — 24 = 39 Puncte 

 d übrig; weshalb die Doppelpaare auf einer C 39 liegen. Noch ist zu ermitteln, wie vielfach 

 ein g auf C 39 ist. Zu diesem Zwecke lege man A durch g u nennet^, « 2 die mit^ gepaarten 

 Puncte (auf der C 4 , welche den Doppelpunct #, hat), a 3 a 3 das dritte auf A befindliche Paar 

 (auf der C 5 gelegen, die zu g x gehört). Durch eine der vorstehenden analoge Schlussweise 

 findet man, dass an Stelle der C* 3 eine C 49 tritt, welche g l neunfach, die andern g aber 

 14fach enthält, und indem man A x der Reihe nach durch a n « 2 , a 3 , a 3 zieht, so ergibt sich, 

 dass C 49 dreimal durch a y und « 2 , zweimal durch a 3 u. a 3 geht. Ausser diesen vielfachen 

 Puncten hat also C 49 noch 49 — 9 — 10 Puncte d auf A, die zu Doppelpaaren gehören; mit- 

 hin ist g l ein 9facher Punct von C". Es ist auch leicht die neun Doppelpaare anzugeben, 



