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Wenn man umgekehrt annimmt, C" habe in m einen Doppel- oder 3fachen Punct, so 

 treten in dem zugehörigen Quadrupel 2 oder 6 Schnittpuncte von Q 9 , C[\ auf. 



Ist x die Anzahl Doppelpuncte der Q 9 (worunter die 3fachen Puncte als aequivalent 

 3 Doppelpuncten einbegriffen sind), y die Anzahl der auf C* 9 befindlichen Quadrupel, so erhält 

 man durch diese 2x-\-Ay gemeinschaftliche Puncte der Q 9 und ihrer Ergänzung. Zu dieser 

 Zahl sind auch alle möglichen gemeinsamen Puncte aufgenommen, die nicht auf J 9 sind oder 

 solchen Puncten als benachbarte entsprechen. Die Gesammtzahl gemeinschaftlicher Puncte 

 wäre hiernach 



2as + 4y + 81, oder 



2x + Ay + 2.81, 

 wenn Cl" C\\ sich in den s 3 berühren, d. h. durch die benachbarten sj gehen. Da nun die 



Gesammtzahl 



39 . 57 — 12 . 9 . 15 = 603 



ist, so ist die Annahme der Berührung nicht zulässig, und man findet 



1) 2x + Ay = 522. 



Man kann diese Formel auch dadurch gewinnen, dass man auf verschiedene Weise 

 die Anzahl der in einem Büschel (C*) vorkommenden, die C" berührenden C* bestimmt: 



a) Zunächst sind in (C i ) l 54 Curven, durch die Coinciclenzpuncte der C 99 gehend, 

 welche dieselbe hier einfach berühren, ausserdem gibt es noch C 4 , die C^ in einem Puncte- 

 paar d, d, also doppelt berühren. Diese aufzufinden, benütze man die in 5 b) gebrauchte 

 Abbildung der Quadrupel auf die Puncte der Ebene E. 



Fasst man die C\\ auf, welche sich aus C 99 und C\\ zusammensetzt, so gewahrt man 

 sofort, dass diese Quadrupelcurve zweimal durch jedes der y Quadrupel hindurchgeht. 



Aber wenn n wie vorhin ein Doppelpunct von C 3 ^ — mit m und p gepaart — ist, 

 so muss auch o Doppelpunct der C" sein, so dass auch durch das Quadrupel nmop die C\\ 

 zweimal geht; ebenso erhellt, dass die Quadrupelcurve dreimal durch ein Quadrupel gehen 

 muss, in welchem ein dreifacher Punct der Q 3 vorkommt. 



Hiernach ist klar, dass die C 2i in E, welcher C\\ entspricht, x-\-y Doppelpuncte 

 hat, wenn ein etwaiger dreifacher Punct als drei Doppelpuncten aequivalent gilt. 



Wenn nun dem Puncte q in E das Grundpuncts-Quadrupel Q von (C*) l zugewiesen 

 ist, so wird jeder von 5 an C H gehenden Tangente eine der gesuchten C" doppelt berüh- 

 renden C 4 durch Q entsprechen und vice versa. 



Demnach hat man 24 . 23 — 2(x-\-y) solcher C 4 und im Ganzen 



2 [24 . 23 — 2 (x -\- y)~] -4- 54 Berührungspuncte. Diese können aber 

 auch ß) als Coincidenzen erhalten werden in der Punctschaar, welche (C 4 ) 1 auf C, 9 aus- 

 schneidet. C 9 39 hat das Geschlecht : 19 . 37 — 12 . 36 — x = 271 — x; eine Gruppe jener Schaar 

 enthält 24 Paare = 48 Puncte, daher besteht die Gleichung: 



47 + 47 + 2 (271 — x) = 54 + 2 (24 . 23 - 2x — 2y) 

 oder 2x-\-4y = 522. 



