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11. Die associirte <š 21 der Cil, die C" und ihre Ergänzung C". 

 . Wir haben gesehen, dass C\\ durch 81 Puncte s 3 der T 2 9 geht, die nicht Coincidenzen 

 auf Oll sind; die nocü fehlenden 72 Schnittpuncte müssen daher Coincidenzen der C\l sein, 

 da sonst diese Puncte auch auf C 99 liegen müssten, was nicht der Fall ist; mit andern Worten: 

 Auf C|° sind 72 Doppelpaare. Mittels dieser Coincidenzen bestimmt sich die Klasse k 

 der assoeiirten Curve von CJJ: Wir projiziren aus o die Paare der Curve und erhalten eine 

 Correspondenz 1,57, somit 114 Coincidenzen. Jede Tangente der assoeiirten Curve consumirt 

 davon 2, so dass 2fc + 72 = 114, fc = 21 folgt. 



Auf einer Tangente T der (5 12 befindet sich ein Doppelpaar dá und ein einfaches e%. 

 Berührt T die ß 12 in o M so gehört zu diesem Puncte eine C 9 , welche d, d zu Doppelpuncten 

 hat. Daraus folgt sogleich, dass jede durch dd gehende Quadrupelcurve T zur Tangente ihrer 

 assoeiirten und zugleich o l zum Berührungspunct haben muss. Wir bestimmen den Ort von eg: 



Die einer Geraden A entsprechende Enveloppe E a hat mit© 12 108 Tangenten gemein, 

 von denen 39 zweimal genommen auszuscheiden sind, bleiben 30, und ebenso viele Puncte e 

 oder t, befinden sich auf A. Zieht man -A T durch g^ so entspricht ihr E 1 und es ergeben 

 sich auf A 1 nur 7 . 12 — 2 . 30 == 24 Puncte e; der gesuchte Ort ist somit C\". 



Um die Ergänzung der Q° zu finden, betrachten wir die Gerade A und (siehe 6 c) 

 die associirte E 1S der Curve, welche A zur Quadrupelcurve ergänzt. E 1 * und (5 12 haben 

 gemein 180 Tangenten. Die ergänzende Q 5 von A hat 15.39 — 12.36 — 39 = 57 Doppel- 

 paare, die Geraden, welche sie tragen, berühren E ir ' und.E 12 in denselben Puncten o,, mithin 

 bleiben noch andere 180 — 114 = 66 gemeinschaftliche Tangenten, welche Zahl die Ordnung 

 der Ergänzung von C\° angibt. Da nun die gesammte Quadrupelcurve 96ter Ordnung ist, so 

 sind die g auf ihr 24fach; mithin ist die Ergänzung: C\l. 



Die Doppelpaare auf C{\. 



Ein Paar et, der 6"° ist im Allgemeinen von dem auf et, liegenden Doppelpaare ver- 

 schieden, kann aber unter Umständen mit diesem sich zu einem 3fachen Paare vereinigen. 

 Gesetzt, dies geschähe z mal. Alsdann sind diese a dreifachen Paare die auf Cjj überhaupt 

 möglichen Doppelpaare und repräsentiren 2z der 522 Schnittpuncte von C™ und (7' 9 . Heisst 

 d einer der 522 — 2z andern Puncte, so ist der gepaarte d den Curven C\\, C" gemeinsam; 

 und es müssen die ausser den d noch vorhandenen Schnittpuncte letzterer sich zu Doppelpaaren 



anordnen lassen. Folglich sind auf C{\ :-~ (630 — 522 -f- 2s) = 54 -j- z Doppelpaare. 



Wenn man die 252 gemeinschaftlichen Tangenten von (S 12 und (S 21 auffasst, so kann 

 man gestützt auf das eben hervorgehobene Resultat, eine Relation zwischen z und der Anzahl y 

 der auf C" existirenden Quadrupel ableiten. 



Wird das Doppelpaar d, Ó durch ď,ů' ergänzt, so ist d'ö' Tangente der © 2l ; diese 

 Gerade wird in zwei und nur in 2 Fällen Tangente von S' 2 sein, nämlich entweder wenn ďů' 

 ein Doppelpaar ist, oder wenn die beiden noch auf d'ö' befindlichen Paare in einem Doppel- 

 paar d l á l vereinigt sind. 



Im ersten Fall berührt d'ö' die © 2l und S 12 im nämlichen Punct, und gleichzeitig 

 ist dann auch dů eine gemeinschaftliche Tangente der Curven; d. h. jedes der y Quadrupel 

 liefert 2 gemeinschaftliche Tangenten, die wegen der übereinstimmenden Berührungspuncte 



