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als 4 zählen. Im zweiten Fall erkennt man sofort, dass d, d ein Doppelpaar der C" ist, und 

 dass auch jedes dieser Doppelpaare diesen Fall hervorbringt, hier aber berührt d'd' die ® 12 

 und ® 21 in verschiedenen Puncten. Auf diese Weise erhält man: 



11) Ay + z = 2h2 — b4:= 198. 



12. Die Puncte der Enveloppen E 12 , g 12 . 



s liege auf J 9 , s' sei der unendlich nahe, mit s gepaarte Punct, daher ss' eine Tan- 

 gente T der E 12 . Zu jedem Puncte o von T gehört eine C\ und (siehe 7 a)) eine C[, welche 

 beide Curven J 9 in den Berührungspuncten der 12 von o an Jí 12 möglichen Tangenten schneiden, 

 von welchen s einer ist. Unsere Construction der C\ zeigt, dass wenn o die T durchläuft, 

 die C\ einen Büschel beschreibt, zu dessen Grundpuncten die 27 Doppelpuncte von (C 4 )^ 

 sowie die 6 Puncte gehören, wo eine C* des Büschels die T berühren. Es ereignet sich daher 

 für eine Lage o 1 , dass die C\ in s die J\ berührt und ferner noch in 10 Puncten schneidet, 

 folglich berührt T die E 12 in o X) und die betreffende C\ muss, da sie in jeder Lage von o 

 in s die T berührt, nun auch J\ in s berühren, folglich s zum Doppelpunct haben. 



Wenn umgekehrt angenommen wird, dass die zu o x gehörende C\ in s einen Doppel- 

 punct hat, so fallen von den 12 Schnittpuncten, welche C 9 , und C[ stets auf J\ haben, zwei 

 in s und es bleiben deren nur 10 andere; weshalb dann von o l an E 12 ausser T nur 10 

 Tangenten möglich sind. 



Wir benutzen diese Bemerkung zu dem Nachweise, dass die einer Geraden A zu- 

 gewiesene Enveloppe -E 9 die E i2 in 9 verschiedenen Puncten berührt: 



Ist nämlich s einer der 9 Schnittpuncte von A^Jl, so ist ss' =: T sowohl Tangente 

 der E 12 als der -B 9 ; heisst o l der Berührungspunct für erstere Curve, so hat die Cl des 

 Punctes o t in s einen Doppelpunct; schneidet mithin A nur noch in 7 Puncten, so dass von 

 o, an E° ausser T nur noch 7 Tangenten gehen. 



Nach Abzug dieser 18 gemeinschaftlichen Tangenten T der -E 12 , E\ bleiben deren 

 noch 90 übrig, was besagt, dass der Ort der beiden von ss' unterschiedenen 

 Paare auf den Tangenten der E 12 eine C 90 ist. 



Diese C 90 geht durch die 54 Puncte s 2 , welche Coincidenzen auf ihr sein werden. 

 Wäre f eine von diesen verschiedene Coincidenz, etwa auf T gelegen, so würde auf T auch 

 s = s' eine solche sein, und man hätte in T eine Doppeltangente der E 12 . Um diese f zu 

 ermitteln, projizire man aus irgend einem Puncte o die Paare der C ° ; dadurch bekommt 

 man eine Strahlen-Correspondenz 1, 90, worin 180 Coincidenzen sind. Von diesen sind 4 . 12 

 auf die 12 durch o &n E 12 möglichen Tangenten 54 auf die Strahlen o s 2 zu rechnen, bleiben 

 noch 78 andere o f. Da aber diese sich paarweise auf Doppeltangenten der E 12 vertheilen, 

 so hat E 12 39 Doppeltangenten. Wegen der eindeutigen Beziehung zwischen jedem 

 Pete s von J\ und einem o 1 von E 12 ist 16 das Geschlecht der E 12 , und diese Curve hat 

 ausser den angegebenen Doppeltangenten keine Wendetangente.*) 



*) Anmerkung. Die C, deren wir uns (No 7) bedienten, um die durch einen Punct o gehenden Tan- 

 genten der E 12 zu finden, constituiren, wie man leicht sieht, ein Netz mit 16 -f-27 = 43 festen Grund- 

 puncten. Wenn o irgendwo auf einer Geraden A angenommen wird, so geht die zugehörige C 7 durch 

 6 unveränderliche Puncte von A, wo nämlich diese Gerade von je einer Curve des Büschels (C l ) 1 

 berührt wird, und wenn o die Gerade A durchläuft, so beschreibt C einen Büschel. Dabei schneidet 



