15 



b) Wie No 9 a) werde unter d, ó ein Doppelpaar, unter í die Gerade dá, unter e, t, das 

 auf ihr befindliche einfache Paar verstanden. In der angezogenen Nummer wurde mit Hülfe 

 einer durch d, á gehenden Netzcurve C 4 und ihrer associirten E e der Punct o r von t ermittelt, 

 für welchen die zugehörige C 2 d, á zu Doppelpuncten hat; in o, berührt t die E 12 und sämmt- 

 liche E 6 der durch d, d möglichen C 4 . Eine dieser C l , etwa Q, enthält e, £ und i?' hat somit 

 t zur Doppeltangente; von ihren beiden Berührungspuncten ist einer o n der zweite o, ergibt 

 sich als der Punct o 2 , dessen C 2 in e, % die C 4 berührt: Man ziehe in e die Tangente A der 

 Q, dann wird die ihr entsprechende Enveloppe E" die t zur Tangente haben, und der Be- 

 rührungspunct der Gesuchte o 2 sein. Denn die zugehörige C\ muss in e zwei benachbarte 

 Puncte von A enthalten, und wird folglich auch in t, von C\ berührt. Von den 12 Schnitt- 

 puncten dieser Cl mit C 4 fallen mithin nur noch drei Paare auf Strahlen durch o, oder durch 

 o 2 gehen ausser t noch gerade 3 Tangenten an E[. 



So lange die auf t befindlichen Paare d, d und e, £ getrennt sind, wird t eine gewöhn- 

 liche Tangente von @ 12 sein, und eine eigentliche Doppeltangente kann nicht auftreten, weil 

 2 Doppelpaare nicht auf der nämlichen Geraden sein können. Wenn aber d,d und et, 

 sich zu einem dreifachen Paare d i S 3 vereinigen, wird t zu einer Wende- 

 tangente der (S 12 . 



Die zu den Puncten o auf t gehörigen Cl haben dann in cž 3 und in d\ je drei be- 

 nachbarte Puncte mit t gemein oder die t zur doppelten Wendetangente. Dadurch wird die 

 Zahl der Doppeltangenten, die von einem o an seine Cl noch möglich sind, um 2 Einheiten 

 vermindert, d. h. von jedem o gehen nur noch 10 Tangenten an (g 12 . Für eine Lage o, erhält 

 ferner die Cl d und é zu Doppelpuncten, wodurch die Anzahl der von o 2 an seine Cl mö- 

 glichen Doppeltangenten 10 wird; eine derselben ist nun in diesem Falle t selbst, so dass 

 von o 2 aus nur noch 9 Tangenten der (5 12 möglich sind. Wir schliessen hieraus, dass 

 S 12 z Wendetangenten besitzt, und somit das Geschlecht p = 55 — z hat. 



c) Bestimmung der Zahlen x,y,z. 



sie aus <P eine Schaar Gi 1 ) aus, in welcher 11 + 11 + 2.16=54 Coincidenzen vorkommen; diese 



2 1 2 7 ' ' ' 



Zahl gibt mithin die Ordnung von -B 12 an. Da ihr Geschlecht 16 ist, so ist 55 — 16 = 39 die Summe 

 ihrer Doppel- und Wendetangenten, und weil bei der Annahme ; dass nur Doppeltangenten vorhanden 

 sind, die Ordnung 54 würde, so kann es keine Wendetangente geben. Um die Spitzen der i? 12 zu 

 finden, bestimme man wie viele C~ die J° osculiren. Betrachtet man die Schaar 0-( 2 ), welche die C 



3 12 12' 1 



aus J 3 schneiden, so existirt eine Gruppe, die in einem beliebigen Puncte s von J D zwei vereinigte 

 Puncte hat, es entsprechen ihm die 10 andern f der Gruppe, es gibt aber bei festgehaltenem f 52 

 Gruppen, in denen je eine Coincidenz s vorkommt, also hat man 10 + 52 + 2. 2. 16 = 126 Coincidenzen 

 sf oder ebenso viele osculirende C . Zur Ermittelung der Doppelpuncte von E 1 2 sind die Ž 9 doppelt 

 berührenden C zu bestimmen : Durch einen Pct ^ sind 52 Gruppen gegeben, wovon jede einen s 

 und 9f enthält. Dem ^ entsprechen somit 2.52 Puncte s und 9.52f, im Ganzen 572 Puncte. Ein s 

 entspricht aber 10 Lagen von f I; die doppelt zu nehmen sind, ein f entspricht 9.52 Lagen von \ l . 

 Werden nun die Coincidenzen \ y s mit P 2) die Anzahl der Coincidenzen fj mit P L bezeichnet, so 

 hat man 



P, + 2P 2 = 572 + 20+9.52 + 2.52.16 

 wo P 2 = 126; mithin folgt 



P t =2472. Eine doppeltberührende C consumirt von dieser 

 2, folglich gibt es 1236 solcher Curven, und E 12 hat eben so viele Doppelpuncte. 



