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ereignet; in den andern Fällen ist die Gerade f, für welche die Coincidenz tt x stattfindet, 

 Doppeltangente der betreffenden E e . 



Die beliebige C 4 unseres Büschels (C 4 ), enthält 24 Doppelpaare d, d und 24 Paare 

 e, §"; wir lassen ihr 24 andere S 4 von (C 1 ) 1 entsprechen, nämlich diejenigen £ 4 , welche jene 

 Paare e, § enthalten. Wenn dann C* mit irgend einer dieser 24 ß 4 coincidirt, so tritt eine 

 Coincidenz tt l ein, und vice versa; und man bemerke, dass bei dieser Rechnung die durch 

 die Wendetangenten hervorgebrachten Coincidenzen mit aufgezählt sind, also für diese eine 

 besondere Reduction nicht mehr anzubringen sein wird. 



Nun liegen aber auf einer der S 4 ebenfalls 24 Doppelpaare, d. h. diese & 4 ist 24 

 verschiedenen C 1 als entsprechende zugewiesen. Auf diese Weise besteht zwischen den Curven 

 des Büschels (C 4 ) 1 eine (Korrespondenz 1 , 24, welche alle 48 Coincidenzen P 1 liefert. 



Somit erhalten wir: 



2. P 2 = 2 . 23 -f 2 (55 — z). 



Aus 1. und 2. geht hervor: (III) x -\-y = 198 -j- z. 



Diese Gleichungen führen zu den Werthen: £ = 171, y = 45, z ■= 18. 



II. 



Wir untersuchen im Nachstehenden ein System von Quadrupeln, das zwar als spe- 

 cieller Fall des oben betrachteten angesehen werden kann, dessen direkte Behandlung aber 

 von geometrischem Interesse ist. Man wird auf dieses System geführt, wenn man sich die 

 Aufgabe stellt, die Doppeltangenten der E 6 zu bestimmen, die einer gegebenen C' 4 associirt ist : 



Auf einer Tangente T der E* liegen 3 Paare, von denen das eine der C 4 angehört: 

 der Ort für die beiden andern ist eine C 42 . Denn die zu einer Geraden A gehörige E* hat 

 mit E* 54 Tangenten gemein. Zieht man von diesen 3.4 ab, welche durch die Schnittpuncte 

 von A^C* gehen, so ergibt sich 42 als die Ordnung des Ortes. Wenn A durch g t gelegt wird, 

 so ergeben sich noch 7.6 — 3 . 3 = 33 Puncte, die der verlangte Ort auf A hat, so dass 

 gi 9fach auf demselben ist. Nun schneiden sich C\ C 42 in 4 . 42 — 12 . 9 = 60 einfachen 

 Puncten, welche entweder zu Doppelpaaren der C 4 gehören, oder auf solchen Geraden liegen, 

 die C 1 in zwei Paaren schneiden, mithin Doppeltangenten der E s sein werden. Da C 4 , Q 

 4 . 39 — 12 . 9 = 48 Puncte gemein haben, so befinden sich auf C 4 24 Doppelpaare, durch 

 welche die C 42 gehen muss; die übrig bleibenden 12 Puncte sind mithin auf 3 Doppeltangenten 

 der E" zu 4 vertheilt. Wir werden diese Doppeltangenten, sowie ihre Berührungspuncte con- 

 struiren. Zu diesem Zwecke schneiden wir die Quadrupel der C 4 auf folgende Art aus : Durch 

 ein Quadrupel Q legen wir 2 Kegelschnitte K, g, welche C 1 in g^gs^* und g^^g, schneiden 

 mögen. Die Kegelschnitte K, welche den Büschel B mit den Grundpuncten g l g 2 g 3 g l bilden, 

 schneiden nach dem Restsatze die Quadrupel aus; eben so die Kegelschnitte ® des Büschels 

 SB mit den Grundpuncten g. 



Wenn irgend zwei solche Büschel, wie 5, So, in der Ebene ange- 

 nommen werden, so ist damit ein Quadrupelsystem bestimmt, zu dessen 

 Studium wir jetzt übergehen. 



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