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Denigemäss erhält man 3t, wenn A angenommen wird, indem man A x A 2 A s mit A 

 zum Schnitt bringt, und die den Schnittpuncten in den i entsprechendem Puncte verbindet. 



Eine weitere Consequenz hievon ist, dass die 6 Doppelpuncte der i sich zu 3 auf 

 4 Geraden D l D 2 D s D t vertheilen. Und damit ist auch dargethan, dass die Verwandtschaft 

 A, 31 nur das Reciproké der bekannten Steinerschen Verwandtschaft ist: Für die Schaar 

 der D l D 2 D z Z> 4 berührenden Kegelschnitte sind A, 31 conjugirte Polaren.*) 



19. Construction der Doppeltangenten für die Enveloppen E s ,E i0 ,E 6 . 



Die C,, die einem Puncte o zugewiesen ist (v. 13), zerfallt, sobald o auf A 1 ange- 

 nommen wird, in diese Gerade und eine C* mit dem Doppelpunct o. Diese C* hat mit i x 

 ein Paar gemeinschaftlich, welches leicht anzugeben ist: Den Geraden A durch o sind nämlich 

 die Geraden 31 conjugirt, welche A x in dem mit o in i, gepaarten o' treffen. Schneidet man 

 jetzt die C[ mit der Geraden a x o\ so erhält man 2 Puncte eines Quadrupels, die durch das 

 aufzufindende Paar der C ergänzt werden. Hieraus ist ersichtlich, dass durch jedes Paar p 

 der iy eine einzige solche C* bestimmt ist. Um ihren Doppelpunct o zu finden, schneide man 

 A x mit dem Strahle von %, welcher das ergänzende Paar von p trägt, in o'; der diesem in 

 z'i zugewiesene Punct o ist der gesuchte Doppelpunct. 



Liegt nun eine Curve C vor, deren Puncte gepaart sind, und welche A x in v Paaren 

 (von i x ) schneidet, so bekommt die ihr associirte Enveloppe E die A L zur vfachen Tangente. 

 Die Anzahl der Paare, welche die C mit der zu o gehörigen C* gemein hat, gibt an, wie 

 viele Tangenten ausser A x an die E von o gehen. Wenn hiebei die C 4 durch eines der 

 v Paare gelegt wird, so wird ihr Doppelpunct ein Berührungspunct von E und A x sein, weil 

 für diese Lage von o noch eine der eben gedachten Tangenten an E mit A x coincidirt. 



Z. B.: Die Enveloppe E s der Geraden, welche die coincidirenden Paare tragen, hat 

 in den Doppelpuncten der i, zwei Paare auf A„ mithin berührt A x die E s in 2 nach der 

 angegebenen Methode zu bestimmenden Puncten. 



Die J^ 4 enthält 4 Paare der £,, da von «, sich 4 Tangenten an C; 1 ziehen lassen, 

 deren Berührungspuncte auf J\ liegen, und deren ergänzende Paare auf A t fallen. Diese 

 letzteren enthält J 1 / und keine andern der »,. A x ist somit 4fache Tangente der J^ 4 . 



Eine Quadrupelcurve C* schneidet aus A x zwei Paare der i x , mithin ist A x Doppel- 

 tangente der E 6 und ihre Berührungspuncte ergeben sich wie oben auseinandergesetzt wurde. 



Die Enveloppen E s , E 10 haben noch 12 andere Doppeltangenten gemein, bestehend 

 aus den 3 Geradenpaaren in den Büscheln B, 33. Fasst man etwa die Geraden g x g^ -=z /, 

 g 3 gř 4 =: V auf, so schneidet ein Ř die l in einem Paare, die V in dem ergänzenden. 



Es gibt aber zwei S, welche l berühren, demnach wird l Doppeltangente von E*; 

 diese beiden Ř bestimmen zugleich 2 Paare der J\\ die auf V liegen, somit ist V Doppel- 

 tangente der E 10 . Gleiches gilt von l. 



Beide Enveloppen sind eindeutig auf die J[ vom Geschlechte 6 bezogen, weshalb sie 

 ausser den angegebenen vielfachen Tangenten keine andern besitzen können. Die 80 gemein- 



*) Bezeichnet s o das Paar, welches auf einer der 4 Geraden D etwa auf A liegt, so berühren sich 

 die beiden hindurch gehenden Kegelschnitte in Soj^o, und umgekehrt berühren sich K,& doppelt, so 

 muss die Verbindungslinie der Berührungspuncte sich selbst conjugirt also eine der D sein. Auf 

 diese Weise bestimmt man die 4 Paare von sich doppelt berührenden Kegelschnitten. 



