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c) Der Ort des Schnittpuncts s zweier conjugirten Chordale n, oder 

 was dasselbe ist, die Coincidenzcurve ist dritter Ordnung J 3 ; der Ort des 

 Paarest, ff', d. h. die «7 3 ergänzende Curve istI? 3 selbstundvon 6ter Ordnung. 



Beweis. O sei eine willkührliche Gerade, jedoch nicht Chordale. o 1 ,o i ,o seien 

 3 Puncte auf 0, von denen o 15 o 2 festgehalten werden, während o die durchläuft. Das 

 variable Quadrupel opqr wird mit den festen o 1 p 1 q,r 11 o 2 poq 2 r 2 stets durch zwei Kegelschnitte 

 verbunden sein, die zwei projectivisch auf einander bezogene Büschel beschreiben. Ihr Erzeug- 

 niss ist somit ausser noch eine C 3 , die Ergänzung zu 0. Weil nun auf nie zwei zum 

 selben Quadrupel gehörige Puncte liegen können, so muss in den 3 Puncten, welche mit 

 C 3 gemein hat, o mit einem der Puncte p, q, r zusammenfallen. Auf befinden sich also 

 3 Puncte s und nicht mehr. 



Gleichzeitig bemerkt man, dass auf 6 Puncte e fallen, weil die Tripel pqr eine 

 cubische Involution auf C 3 bilden, die 6 Doppelpuncte (Coincidenzen) besitzt. 



21. Conjugirte Pole des Netzes. 



Ist A eine Chordale, und wird sie von der conjugirten A' in s geschnitten, so sind 

 auf A ausser s noch 2 Puncte f, f der J 3 . Es sind dies die Doppelpuncte der zu A 

 gehörigen Involution i, und sie sind mithin conjugirte Pole für alle Netzcurven. Wenn 

 überhaupt 2 Puncte conjugirt sein sollen für alle Netzcurven, so müssen alle Büschel 

 die Verbindungslinie in der nämlichen Involution schneiden, d. h. diese muss Chordale sein. 

 Demgemäss kann J 3 definirt werden als Ort solcher Punctepaare f, f , die für die Netzcurven 

 zwei conjugirte Pole sind; E 3 als Enveloppe der Geraden, welche ein solches Paar f, f tragen. 

 Durch einen dieser Puncte f gehen ausser f f = A noch 2 Tangenten 31, 21' an E 3 , die con- 

 jugirt sind, und einen zerfallenden Kegelschnitt des Netzes darstellen. Ist daher f x , f' x irgend 

 ein anderes Paar, so werden die Strahlen ff,, ff\ durch 21,21' harmonisch getrennt sein, 

 d. h. Alle Paare werden aus jedem Puncte der J 3 durch eine quadratische 

 Strahleninvolution projizirt. Die Tangente der J 3 im Puncte f wird mithin durch 

 2t, 21' von Az=.\\' harmonisch getrennt sein, und somit den zu s conjugirten Pol s' enthalten. 

 Gleiches gilt für f: Daher haben ff denselben Tangentialpunct s', den conjugirten von s; 

 A, A' und s s' sind die 3 durch s möglichen Tangenten der E 3 , nach 20 b) ist der Berüh- 

 rungspunct o von A und E 3 von s durch f, f harmonisch getrennt. 



Die Wendepuncte der J 3 und die Spitzen der E 3 . 



Wir machen die ausdrückliche Voraussetzung, dass J 3 nicht zerfällt — die Statt- 

 haftigkeit derselben ist leicht zu begründen. — Alsdann können im Netze keine zwei sich 

 doppelt berührende Kegelschnitte vorkommen, weil sonst die doppelt gezählte Verbindungslinie 

 der Berührungspuncte eine Netzcurve wäre, und demzufolge auch einen Bestandtheil der J 3 

 ausmachen würde. 



Bedeutet jetzt s x einen Punct, den J 3 mit E 3 gemein hat, so muss von den 

 beiden Quadrupelpuncten ß l: g\ einer a\ mit ^ coincidiren, so dass 3 Quadrupelpuncte 

 unendlich nahe, liegen und die durch s, gehenden Netzcurven sich hier osculiren. Hieraus 

 folgt weiter, dass dieselben J 3 in s 1 berühren, oder dass die Tangente A 1 der J 3 für den 

 Punct Sj auch Tangente der E 3 ist. Von den beiden übrigen Tangenten der E 3 durch s, 



