13 



Addiren wir alle auf die Coordinatenaxe bezüglichen Gleichungen des obigen Systems, 

 so soll die Summe im Falle der Gültigkeit des Schwerpunkt-Satzes gleich Null werden. Wegen 

 der im Allgemeinen angenommenen Unabhängigkeit der Lage der Punkte n u (i 2 . . . [i v kann 

 dies nur dann der Fall sein, wenn für jeden derselben besonders jene Summe gleich Null 

 gesetzt, also angenommen wird: 



k 2 Hi U ki =Z x k Hi U ki , 



(1) li 2 ftfcj Um = 2 x k Ht U U . 



I» s p kv U kv — 2x k (i kv U kv . 



„Ebenso gelten in Bezug auf die Coordinatenaxen Fund Z folgende zwei Gleichungs- 

 systeme : 



Vi s Hi ÖJh — s Vk Hi u ki . 



(2) n-i 2 ftte ^to = Zy k (i ki U ki , 



V v s Hv u kv = s !/k Hv u kv 



ti^-Pfa u k, = Sz kHi U ki, 

 (3) ^ i £(i k2 U k2 = £ z k fa U ki , 



£* 2 Hv U kv — 2z kHv u kv • 



Die Gleichungen (1), (2) und (3) bestimmen die Lage der Kraftcentra (i u f* 2 . . . p v , nach 

 welchen die an den einzelnen Massenpunkten m 1 , m„... i m n angreifenden Kräfte beständig 

 gerichtet sein müssen; und zwar bestimmen sie jene Punkte als Schwerpunkte des Systems 

 der Massenpunkte, wenn jedem Punkte m k in Bezug auf den Punkt j^ statt der eigenen 

 Masse die Masse 

 (4) H* ü kK 



zugeschrieben wird. Eindeutig, immerhin jedoch im Allgemeinen höchst čomplicirt, ist diese 

 Bestimmung nur in dem Falle, wo die Functionen U kx nur von der Configuration der 

 Massenpunkte abhängen. Sind dieselben aber auch von der Configuration der Kraft- 

 centra abhängig, dh. gehen in die Ausdrücke von U ktl auch die Coordinaten |, ij, £ ein, so 

 wird man zur Bestimmung dieser Coordinaten Gleichungen zu lösen haben, die von der Natur 

 jener Functionen U kK abhängen, daher auch mehrdeutige, unendlich vieldeutige und imaginäre 

 Lösungen zulassen. Eine Ausnahme wird nur dann stattfinden, wenn sämmtliche auf einen 

 Punkt fi* bezüglichen Functionen: 



