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also auch : 



( 24 ) á k x k +b k y k + c k z k = 0. 



Wir können das gewonnene Eesultat folgendermassen aussprechen: 



Wirkt auf jeden Punkt eines Systems eine gegen den Schwerpunkt 

 desselben gerichtete, durch das Product der Function U (17) der Masse 

 des Punktes und seines Abstandes vom Schwerpunkte gemessene Kraft, so 

 bewegt sich jeder Punkt in einer festen Ebene, und es kann die Grösse u, 

 dh. die Summe der mit der entsprechenden Masse multiplicirten Quadrate 

 der Entfernung dereinzelnen Punkte vom Schwerpunkte als eineFunction 

 der Zeit dargestellt werden. 



In manchen Fällen wird es möglich sein, die Integration der Gleichungen (18) voll- 

 ständig durchzuführen; interessant ist namentlich der folgende Fall. Es sei gleichzeitig: 



9>(u) = 2 Uu -f AJ'üdu + 2 C= 



(7 = 0. 

 Beide Gleichungen haben wegen (21) : 



du 



—— = 0, u -=. Oonst. 

 dt 



zur Folge.*) 



In diesem Falle ist auch U constant, ebenso die lebendige Kraft T und die einzelnen 

 Punkte des Systems führen harmonische Bewegungen in concentrischen Kegelschnitten um 

 den Schwerpunkt aus. Bei einem binären gravitirenden System ist dies dann der Fall, wenn 

 die beiden Massen um den Schwerpunkt concentrische Kreise beschreiben. 



Bei einem System von sehr vielen Massenpunkten, welche während einer gewissen 

 Zeit in geschlossenen oder wenigstens nicht in's unendliche verlaufenden Bahnen um den 

 gemeinsamen Schwerpunkt kreisen, kann es als sehr wahrscheinlich betrachtet werden, dass 

 sich im ganzen die Abstände vom Schwerpunkte compensiren, dh. dass die Summe 



m l Ql + m 2 Ql + m 3 Ql + ■ • • + ™n Qn 



zwischen äusserst nahen Grenzen um einen constanten Werth herumschwankt. Ein solches 

 System wird, wie immer auch das Kraftgesetz (dh. die Function U) näher specialisirt werden 

 muss, in seinen kleinsten Theilchen genau jene harmonischen Schwingungsbewegungen zeigen, 

 wie sie wirklich bei den kleinsten Theilchen auf Grund akustischer und optischer Erschei- 

 nungen angenommen werden. 



Es ist selbstverständlich, dass man die Kraft, welche nach dem eben angenommenen 

 Gesetze auf die einzelnen Punkte eines Systems wirkt, in Componenten zerlegen kann, welche 

 je nach den übrigen Punkten gerichtet sind, somit alle Kräfte in einem gewissen Sinn als 



*) Die erste der obigen Gleichungen würde im Allgemeinen schon die Constanz der Grösse u zur Folge haben, 

 doch könnte der Fall eintreten, dass in jene Gleichung u gar nicht eingeht und daher aus derselben 

 der (constante) "Werth von u nicht bestimmt werden kann. 



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