Sur quelques généralisations d'une relation. 9 



et les axes de l'hyperbole h 2 par les expressions : 



_ a(a 2 — b 2 ) _ b(a 2 — ž> 2 ) 



a 2 -f b 2 a 2 -f è r ~ ' 



donc, si /» et /c ont des axes communs, h x et /c 2 , puis A 2 et k x ont 

 aussi des axes communs; les asymptotes communes de h, \, A 2 sont 

 alors les diagonales du rectangle circonscrit à Je. 



Il est clair que les équations (7) ont lieu de la même manière 

 pour les hyperboles h 2 comme pour les ellipses k 2 . 



La figure donnée renferme donc tout un complexe de propriétés 

 de position et de propriétés métriques, si l'on donne à la transversale 

 D et au point des positions spéciales et si l'on a égard aux formes 

 spéciales des coniques. 



Si la conique donnée est une parabole p, les expressions pour 

 les demi-axes a, ß, A, B des paraboles p x , et p 2 deviennent indé- 

 terminées, mais la propriété, que les trois coniques doivent être 

 coaxiales et semblables, ce qui veut dire égales en cas des paraboles, 

 subsiste encore, aussi que la construction que l'on obtient la tangente 

 au sommet de la parabole p x en menant par le sommet de la para- 

 bole p deux droites inclinées sous 45° envers l'axe; par conséquent 

 le sommet de la parabole p x est à une distance égale au double 

 paramètre sur un côté, et de même, le sommet de la parabole p 2 est 

 à la distance égale au double paramètre sur l'autre côté du sommet de p. 



On a donc la proposition suivante : 



Va) Si la parabole p subit une translation parallèle à son axe 

 et égale au double paramètre dans le sens de sa concavité, jusqu' 

 à ce qu' elle soit amenée dans la position p x , et puis une translation 

 égale au double paramètre dans le sens de sa convexité, jusqu' à ce 

 qu'elle soit amenée dans la position p 2 ; alors, si Ton mène d'un point 

 / arbitraire sur p 2 les tangentes fa, fb à p, la polaire ab du point / 

 par rapport à p est en même temps tangente à la parabole p x , et le 

 point de contact c, est sur la parallèle menée par / à l'axe des 

 paraboles. 



Si l'on abaisse encore de / une perpendiculaire à ab qui ren- 

 contre p en c, alors la corde ab est vue de c sous un angle droit : 

 donc, en désignant par p et v les angles que forme fc avec fa et fb, 

 par a l'angle des cordes ab et ac, par D une droite arbitraire qui 



Tr. mathematicko-přírodovědecká. 1900. 2 



