Entwickelungen einiger zahlentheor. Functionen in unendliche Reihen. 5 



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worin wieder 



(-1) 2 /M E 1 ^3 

 " r ." r! \UJ2*T8r UJ2 8 T 5r 



, (63) 



«ire 

 2=1,3", 5.. . 



und E x , E 3 , E 5 . . . die Tangentencoëfficienten bedeuten. 



Für r = 1 geht cp r (fi) in op ( l u) über, wofür in (45) die Ent- 

 wicklung gegeben ist. 



Ergiebt die Zerlegung von n bezw. ;/ in Primfactoren den Aus- 

 druck a a W c<' . . . . und ist q der grossie unter den Exponenten 

 cc, ß, y . . . . der Primzahlen a, ft, c . . . , so giebt es keine Zahl 

 <C w, die mit n eine (p -f~ l) te Potenz einer Primzahl als gemein- 

 schaftliches Maass hat; somit bleibt <p r (n) für alle r^>Q invariant 

 u. zw. —n — 1. 



Anzahl der Zahlen <; n, die mit n keine höhere und keine 

 niedrigere als die r te Potenz einer Primzahl zum gemein- 

 schaftlichen Muasse haben. 



Die Zahlen, deren Anzahl durch (p r +i(ri) dargestellt wird, 

 können in zwei Gruppen getheilt werden: In die Gruppe jener Zahlen, 

 welche keine höhere un d keine niedrigere als die r te Potenz einer 

 Primzahl zum gemeinschaftlichen Maasse mit n haben und in die 

 Gruppe aller Zahlen, die mit n keinen gemeinsamen Theiler besitzen, 

 die eine höhere als die (r — \) te Primzahlpotenz ist, deren Anzahl 

 = (p r (n) beträgt. 



Die Anzahl der Zahlen der ersteren Gruppe ist demnach 



(p r+1 (n) — (p r (n). 



Die zahlentheoretiscJte Function. 



r ( W ) = <p r _ ( W ) ( n j y r (n — i) _j_ [* j cp r (» — 2)... 



