2 XI. M. Lerch 
Afin de l’établir arithmétiquement, retranchons ses deux mem- 
bres de la quantité Z @(m — en) en nous rappelant Véguation évi- 
dente @(p) = d(p, 9) + xp, 9; il vient 
E = 
Ÿ (m — an, «) = y Ulm — an, n), 
Pl = 
ce qui est une formule équivalente avec Véguation (1). 
A chaque diviseur © de m — en, supérieur à n, correspond un 
OD e m — an . . . . A 
diviseur conjugué d — mu nu qui évidemment est inférieur à 
M — an m 
——— z — — e, de la sorte que 
n n 
m— 1 
ds —— — a. 
non n 
Il s'ensuit 
Z Y(m — an, n) = Zan—an T — 0) 
ce qui permet d'écrire la formule (1) sous la forme 
(1*) Re — an, «) M zl — an, N — a) 
di 
a0 
qui est presque évidente. 
Representons en effet par d, les diviseurs de m — an non supé- 
rieurs à a et par A, les diviseurs de m—an non superieurs à 
HD — 1 o 9 PES) 
rar Je dis que l’on a cette formule générale 
4 wer il 
eo Bro SU), «CE 12. |) 
n 
da du 
dans laquelle f représente une fonction quelconque. Cette formule 
n'exprime d'autre chose que ce que les nombres 0, et d, correspon- 
dant aux valeurs & = 0, 1, 2, .. [=] ne diffèrent que par l’ordre. 
Pour Vétablir, je vais démontrer que, pour chaque nombre k 
contenu dans la série 1, 2, 3,.. =) les équations 0, = k et 
dg = k ont un même nombre des solutions. 
