Sur quelques théorèmes d’arithmétique. 9 
Si Don pose en efiet d,—%, on trouve les « correspondants 
en résolvant la congruence 
A) m — an = 0 (mod k), 
combinée avec la condition £— 9, <a, de la sorte qu’on ne peut 
admettre que les valeurs de « contenues dans la série 
ak, kA, k+2, || 
On voit de même que le nombre des solutions de l’&quation 
% — k équivaut au nombre des solutions de la congruence 
m— 1 
B) m— Bn=0 (mod k), B—=0O, 1, RN n 
Or à chaque solution 8 correspond une solution ea = 8 +k ei 
réciproquement. Les congruences considérées ont done un nombre 
égal des solutions et par conséquent, le nombre £ se trouve autant 
de fois parmi les d, que parmi les d,. La formule (2) est donc dé- 
montrée, et par conséquent aussi les formules (1*) et (1). 
Désignons maintenant par <, tous les diviseurs du nombre 
m— an, et retranchons de la somme Z f(4,) rapportée à tous les 
> SE m — 1 
diviseurs 4, dont les indices ont pour valeurs & — 0, 1,... | 
les deux membres de l’équation (2); il vient 
B) Nia)=Y/@) , (« — 0, 1,2,.... (|) 
où d, représente les diviseurs de m — an supérieurs à c, 
d m — I 
œ » » » » » » jí nh 
En faisant f(x) = «x, les équations (2) et (2*) deviennent re- 
spectivement 
m—1 m—1 
js E I Mi ae 
V Xn — an, 6) =Yx(" qe er Ce 
œ—1 a0 
Fe] Ca m — 1 
| Pe — an, «) a Ê TUN Er «) ; 
(8) 
