g XI. M. Lerch 
Une remarque très intéressante nous a été communiquée par 
M. Zeuer. Le savant recteur de Markgröningen avait observé que 
le nombre d(m — «, «) équivaut au nombre des termes de la série 
u = 1, 2, 3,...n, tels que le reste de la division de m par u soit «, 
ce qui lui a donné la formule 
m—1 
(a) y ab(m— a, ed) = ER», 
a—1 
ou plus généralement, 
m—1 
V gle)v(m — a, «) = Zy(Rn), 
o—1 
en représentant par À, tous les restes de la division du nombre 
m par les nombres moindres, et en désignant par g(«) une fonction 
quelconque. 
En représentant par f(m) la valeur commune des deux membres 
de l'équation (a) on trouve facilement la formule 
f(m) — f(m — 1) = 2m — 1 — ®, (m) 
qui donne immédiatement une autre proposition de M. Zerxer, 
à savoir: Les nombres 2* et 2*— 1, étant divisés par les nombres 
moindres, ont les sommes de restes égales. 
III. 
Nous allons maintenant établir la formule 
a—1 a 
(11) > [vím + an, a) — vím + an, a)] = % (k,n | m) 
1 
a—0 = 
et en donner une extension qui se présente immédiatement. La dif- 
férence W(m + an, ©) — ÿ(m - an, a) n'étant que le nombre des di- 
viseurs de m--e«n contenus entre les limites (œ 4 1.... a) inclu- 
sivement, nous aurons 
vím + an, e) — y(im + an, a) M ký, 
k=1 
