Sur quelques théorèmes d’arithmétique. 9 
où k, est Vunité, si % surpasse « et divise m — an, et zéro dans le 
cas contraire. 
De la nous tirons 
a—1 
Alu + an, &) — úím + an, a)] -y Y 
k=0=0 
a—1 
et on voit de suite que la somme D? représente le nombre des 
0) 
solutions de la congruence 
m +- en=0 (mod k), OSa<k, 
nombre qui évidemment est donné par la fonction (k, n | m), ce qui 
démontre la formule (11). 
On a plus généralement, en posant 
Zp) = = Z f(0,), 
où f(x) est une fonction quelconque et 0 parcourt tous les divi- 
seurs de n supérieurs à p, la formule 
(12) DAC I an, 0) — F(m + an, a)] YU (k, n | m) 
«0 = 
et en particulier pour f(x) = x, 
a—1 
VFm — an, a — Wm an, a)] =N (k, n | m). 
a—0 
Jusqu'ici les nombres, dont nous avons considéré les diviseurs, 
étaient positifs; maintenant nous aurons à considérer aussi les nom- 
bres négatifs, avec la convention que leurs diviseurs devront être 
pris toujours positivement. 
Soit f(x) une fonction quelconque et posons Æ(k) = Z f(x), en 
représentant par x tous les diviseurs de k. 
On établit aisément la formule 
n—1 
(13) à Ff(a— am, n)| >Y d’f(d) . (9, m | a), 
= 00 —n 
